UFV, Sem Campus, Cálculo 2,Trabalhos para Nota - 2022.2, Questão 1
Mostre que a série de Taylor de definida por em torno de converge para .
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
Nós temos que verificar se a série de Taylor da função
definida tal que , converge para . A série de Taylor é definida como
em que
em nosso caso temos que . Para verificar essa convergência vamos ter que calcular o raio de convergência da série que iremos obter! Isso dependerá muito do formato do nosso resultado, então vamos partir daqui! Belezinha? Bora lá!
Passo 2
A nossa função é bastante simples, portanto, podemos usar que
e, portanto
e, então
de forma que retornamos à
Note que quando avaliarmos em , obtemos que
, , e
esse padrão irá se repetir, portanto, temos que os únicos termos não nulos de nossa série são os de coeficientes pares, e eles resultam em um sinal alternado, nossa série será tal que
que é uma série alternada! Vamos verificar a sua convergência!
Passo 3
O teste da série alternada nos indica que se temos uma série no formato
, em que
então a série é convergente se e , . Isso limita os valores de para os quais a nossa série de Taylor converge! Vamos reescrever um pouco a série original, temos que
Nós queremos isolar o termo alternado e o termo , portanto, vamos usar que , portanto, quando , temos que e no infinito, temos que , portanto, obtemos
com esse formato podemos identificar que . Qual será a condição para para que a série seja convergente! Saca só!
Precisamos que a série seja decrescente, e que o limite vá a zero, ou seja, precisamos que , ou simplesmente , ou simplesmente
Se tivermos que temos que a nossa série de Taylor converge para , e apenas sob essas condições, portanto, em , a série converge! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos Passos!