UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 5.
5 – Determine uma representação de série de potência para e estude seu raio de convergência.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, temos que converter a função dada no enunciado para uma série de potência e depois disso, temos que determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para essa série.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔🤔
Uma série de potência genérica é dada como , então temos que escrever como algo parecido com a série genérica para encontrar a representação para nosso caso.
Depois de encontrarmos essa representação, vamos aplicar o teste da razão para obter o raio e o intervalo de convergência dessa série!
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Vamos começar manipulando de modo a deixá-lo o mais próximo possível de
Colocando para fora da fração, temos
Podemos reescrever como , concorda?
Colocando em evidência em
Perceba que chegamos em algo muito parecido com . A diferença é que no lugar de , temos , portanto podemos escrever que
Passando o para dentro da série, temos
Portanto, essa é a série de potência que encontramos para nossa função !
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora temos que aplicar o teste da razão para obter o raio de convergência e o intervalo de convergência.
Esse teste consiste em calcular o limite de para tendendo a . Assim se o resultado desse limite for menor que a série converge, se for maior que a série diverge, mas se for igual a não podemos afirmar nada.
Se , então substituindo por , temos
Calculando o limite, vamos obter
Como , então
Podemos simplificar a fração cortando já que ele está multiplicando no numerador e o denominador
Assim, forçando esse resultado convergir, fazemos ser menor que
Entendeu essa parte? 😁
Passo 4
Assim, temos que
Como não pode resultar em um valor negativo, então podemos desconsiderar o módulo
Tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente de um dos lados, temos
Como , então
Agora sim pode ser negativo ou positivo, então para eliminar o módulo temos que fazer o seguinte...
Multiplicando todos os lados por
Então vimos que entre e , a série converge, mas será que em e em a série também converge?
Nesses extremos quando não podemos afirmar nada, então temos que analisar os dois extremos separadamente.
Interessante, não é? 😉
Passo 5
Para , temos
Pelo teste da divergência, fazendo , vemos que resulta em já que elevado a qualquer valor é .
Agora para , temos
Novamente pelo teste da divergência, o limite de para é igual a já que o expoente é par.
O que queremos dizer com isso, é que o teste da divergência consiste em calcular .
Se esse limite resultar em um valor diferente de , a série diverge. Se para e o limite resulta em , então nos extremos do intervalo, a série diverge.
Dessa forma, o intervalo de convergência é dado por e o raio de convergência é igual a .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: