Encontre a Série de Taylor de em torno do ponto . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Vamos calcular as derivadas de e procurar um padrão.
Logo, podemos escrever o seguinte:
Temos, portanto, expressões diferentes para índices pares e ímpares.
Passo 2
Vamos, agora, montar a Série de Taylor.
Para a série em torno de zero, temos:
Precisamos substituir as expressões que encontramos para a derivada. Repare:
Assim, restam apenas os índices pares. Reescrevendo a série para os índices , temos:
Substituindo a expressão da derivada:
Passo 3
Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:
Então
Como , tomando a convenção que , temos .