Ache a expansão em série de potências em torno de
Passo 1
Repara que temos um termo e outro , no numerador, então vamos relembrar da teoria a representação da serie de Taylor cada um.
Para uma dada função , podemos representar assim:
E analogamente, a série de Taylor para uma dada função temos:
Passo 2
Verificar os raios de convergência das séries. Para isso, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos diz que a série converge quando,
Para , teremos
Para , teremos,
Como raio de convergência é dado por , onde é o resultado do limite calculado. Temos que os raios de convergência valem infinito. Isso é importante para podermos escrever a função da seguinte maneira, em termos de e :
Passo 3
Reescrevendo a função, teremos:
Repare que a expansão só terá termos com par! Pois se for ímpar, o termo é nulo, visto que haverá um termo . Por exemplo, para
Portanto como só teremos números pares, podemos chamar (pois todo número multiplicado por é par) e a expansão será: