UFTPR - Londrina - Cálculo 3 - Listas - Teste 9 - Listas de Estudos Cáculo 3 - UTFPR - Lista 2022.2 - Questão 9
Use uma série de potências para aproximar a integral . (Explique detalhadamente como determinou a série).
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Precisamos achar uma aproximação em série do potências do integrando da seguinte integração
e, utilizar este resultado para obtermos uma aproximação de seu valor! Mas como faremos isso? Nós podemos utilizar a definição de uma série de Maclaurin dada por
obtendo uma aproximação como uma soma de polinômios! Mas, por simplicidade, vamos fazer os cálculos para uma função mais simples, e então adaptar o resultado para a função desejada! Vem comigo!
Passo 2
Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função
e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para , obtemos
da mesma forma, para , temos agora
como temos que a derivada de cosseno é
Podemos obter que
Vamos continuar repetindo este processo! Temos que para , precisamos calcular
Acabamos de calcular que , e usando que
Obtemos que
A ideia é calcular alguns outros termos e tentar identificar uma relação entre eles! Pelo que obtive até agora, parece que teremos uma alternância de sinal, e a existência de apenas coeficientes pares! Mas vamos abrir mais alguns para garantir!
Passo 3
Com precisaremos calcular
Como já calculamos a primeira e a segunda derivada, precisamos apenas derivar novamente o resultado , que nos leva à
ou, simplesmente,
Note que o terá sinal positivo, e o será nulo, ou seja, sempre teremos o valor para todo coeficiente, apenas os coeficientes pares são não-nulos, e eles alternam o sinal! Portanto, temos que
O garante que para todo tenhamos apenas os valores pares, e dá a alternância de sinal desejada! Então essa é a série de potências para o cosseno! No entanto, não era ela que queríamos, certo? Vamos mexer nisso um pouco agora!
Passo 4
A função que queremos expandir é a seguinte
note que a única diferença é que calculamos para e não ! Desta forma a única mudança que precisamos fazer é substituir em nossa série por , obtendo que
que pode ser simplificado como
No próximo passo podemos agora expandir alguns termos para resolvermos a nossa integral! Vamos lá!
Passo 5
Vamos expandir até a quarta ordem, temos que
Ou, simplesmente
Substituindo em nossa integração, temos que
Agora é só resolver as integrais mais simples que obtivemos! Vamos lá!
Temos que estas integrais podem ser obtidas através da primitiva
com , obtemos a seguinte integral
e, para , temos que
Ou seja, a nossa integral é simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!