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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Considere a função

f x =   ∫ 0 x 1 y tan - 1 ⁡ y d y

  1. Encontre a série de MacLaurin de essa função.

    2. Dica: Determine primeiro a série de McLaurin da função tan - 1 ⁡ y .

  2. Encontre f 10 ( 0 ) (a derivada de ordem 10 da função f em x   =   0 ).

Passo 1

Faaaaala aí!!! Bora começar pelo começo (é uma boa rs)

( a )

Nooooossa, pra encontrar a série MacLaurin desse bichinho vai ser chato! Primeiro, a gente tem que pensar que o termo tan - 1 ⁡ y dentro da integral é bem feio.

Pra você que não lembra que função é essa, veja só: tan - 1 ⁡ y = arctan ⁡ y , mais conhecida como A TEMIDA.

Então, como recomenda a dica, vamos determinar a série MacLaurin dessa função.

g y = tan - 1 ⁡ y

“Uou, ajudou muito!”

Calma! Ela não nos diz muita coisa, mas olha só a derivada dela:

g ' y = 1 1 + y 2

Se ainda não acendeu uma luz pra você, olha a série que vou colocar aqui abaixo:

1 1 - r = ∑ n = 0 ∞ r n ,     p a r a   r < 1

E agora veja a mágica acontecer:

g ' y = 1 1 + y 2 → g ' y = 1 1 - - y 2 ,     y 2 < 1

Tá vendo só? No nosso caso r = - y 2 .

Então:

g ' y = ∑ n = 0 ∞ - y 2 n ,     y < 1

g ' y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n ,     y < 1

Passo 2

Mas veja bem: queremos a representação em série de g ( y ) , não de g ' ( y ) . Então chuta o que faremos agora... Integrar!!!

g ' y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n

g y = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n d y

Agora podemos passar a integral para dentro do somatório:

g y = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n y 2 n d y

Parece feio, mas é só integrar normalmente, lembrando que - 1 n é uma constante:

g y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n + 1 2 n + 1 + C

Somamos C pois tínhamos uma integral indefinida! E para descobrir o seu valor, basta calcular g ( 0 ) :

g 0 = tan - 1 ⁡ 0 = 0

Logo C = 0 e:

g y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n + 1 2 n + 1

Passo 3

Bora substituir esse g ( y ) na integral para finalmente resolvermos a letra ( a ) :

f x = ∫ 0 x 1 y tan - 1 ⁡ y d y = ∫ 0 x 1 y ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n + 1 2 n + 1 d y

Podemos passar o 1 y para dentro do somatório:

∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ 1 y . - 1 n y 2 n + 1 2 n + 1 d y = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n 2 n + 1 d y

Agora a integral pode entrar no somatório:

∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n y 2 n 2 n + 1 d y

Vamos integrar (até que enfim!):

∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n y 2 n 2 n + 1 d y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y 2 n + 1 2 n + 1 2 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2 - 0

Portanto:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2

Passo 4

( b )

Agora temos que encontrar f 10 ( 0 ) . Cara, essa derivada é grande né? Mas não se preocupe, vou te lembrar de uma fórmula maravilhosa pra resolver isso: a fórmula de Taylor!

c n = f n a n !

Onde a é o ponto no qual a série está centrada. Dá uma olhada na nossa:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2

Concorda comigo que:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x - 0 ) 2 n + 1 2 n + 1 2

Então a nossa série está centrada em 0 , logo, se colocarmos isso na fórmula, temos:

c n = f n 0 n !

Muito legal!!! Que tal substituir n por 10 ?

c 10 = f 10 0 10 !

OMFG, apareceu que queríamos! Bora ajeitar:

f 10 0 = c 10 10 !

Passo 5

Vamos em busca do c 10 . É o termo que falta!

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 2

Ok, c 10 é o cara que acompanha o x 10 , mas perceba o seguinte: no expoente de x está o 2 n + 1 que é sempre ímpar para n ∈ N .

Então essa série é de potências ímpares de x , logo x 10 não pode existir. Para isso acontecer, c 10 tem que ser 0 . Portanto:

f 10 0 = c 10 10 ! = 0.10 ! = 0

Resposta

a   f x = ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 2

b   f 10 0 = c 10 10 ! = 0

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