Séries de Taylor, Séries de potências
- Desenvolva em série de potências de (série centrada em ).
- Determine o intervalo de convergência da série obtida no item .
- Sabendo que coincide com a série obtida no item para em , determine a soma da série .
Passo 1
Letra a)
Vamos calcular as derivadas de e procurar um padrão.
Temos os coeficientes: . Veja que
Temos, então, sempre .
Agora, vamos analisar os sinais. Já vimos que eles se alternam, então, temos elevado a alguma potência, mas qual? Veja que nos ’s pares, temos sinal negativo para o , enquanto nos ímpares, temos positivos.
Se escrevermos , essa regra não é obedecida, mas escrevendo , os sinais ficam corretos.
E assim por diante!
Logo, podemos escrever o seguinte:
Passo 2
Montar a Série de Taylor.
Para a série em torno de zero, temos, então:
Na verdade, como , podemos escrever que a série começa em :
Precisamos, agora, substituir a expressão que encontramos para a derivada.
Portanto, temos a seguinte série
Foi importante tiramos o do somatório, porque isso causaria uma indeterminação (teríamos no denominador).
Passo 3
Letra b)
Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:
Então
Como , temos .
Passo 4
Mas o problema pede o intervalo de convergência, que sabemos vai de até . Precisamos apenas descobrir se esses extremos são fechados ou não, ou seja se a série converge para e . Vamos substituir esses valores, não tem jeito!
Pasa
Como é sempre ímpar:
Essa é a Série harmônica, que diverge. Portanto, o não está dentro do intervalo de convergência.
Para
Essa é a Série harmônica alternada, que converge (podemos provar isso pelo Teste das séries alternadas, é decrescente e tem limite zero quando ). Portanto, está dentro do intervalo de convergência. Temos então:
Passo 5
Letra c)
Agora queremos encontrar a soma da seguinte série:
Usando a seguinte informação:
Percebeu que a 1ª série nada mais é que a 2ª com , é a Série harmônica alternada, que acabamos de ver. Então vamos substituir por 1 na série do problema, olha só: