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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 6

Obtenha uma série de potências que represente a função g x = 1 1 - x 2 e o seu intervalo de convergência

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir a cara e o intervalo de convergência dessa função aqui

g x = 1 1 - x 2

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série de potências representa uma função g ( x ) quando podemos relacionar as derivadas n-ésimas das funções, assim

g x = ∑ n = 0 ∞ f n ' 0 n ! x n

É o que chamamos de Série de Maclaurin da função g ( x )

Então a ideia aqui é ir derivando a função g ( x ) , aplicar em x = 0 e perceber um padrão!

E depois? Depois que tivermos a série de potências, vamos encontrar o raio de convergência (que são os valores de x nos quais a série resultante é convergente) através do Teste da Razão para Convergência Absoluta

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

g x = 1 1 - x 2

Vamos derivar e aplicar em x = 0 :

g ' x = - 2 1 - x 3 . - 1 = 2 1 - x 3 → g ' 0 = 2

g ' ' x = - 2 . 3 1 - x 4 . - 1 = 2 . 3 1 - x 4 → g ' ' 0 = 2 . 3

g ' ' ' x = - 2 . 3.4 1 - x 5 . - 1 = 2 . 3.4 1 - x 5 → g ' ' ' 0 = 2 . 3.4

g ' v x = - 2 . 3.4 . 5 1 - x 6 . - 1 = 2 . 3.4 . 5 1 - x 6 → g ' v 0 = 2 . 3.4 . 5

Tranquilo até aqui?

Agora vamos perceber um padrão nas derivadas aplicadas em x = 0 :

g ' 0 = 2

g ' ' 0 = 2.3

g ' ' ' 0 = 2.3 . 4

E assim por diante, se tivermos a derivada de ordem n , vamos multiplicar os inteiros até n + 1 , então

f ' n 0 = n + 1 !

Beleza? Agora nossa função pode ser escrita em termos de uma série de potências:

g x = ∑ n = 0 ∞ f n ' 0 n ! x n

g x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 ! n ! x n

Ainda podemos simplificar os fatoriais! Saca só

g x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 . n ! n ! x n = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

Essa é nossa série de potências!

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o raio e o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades!

Vamos aplicar o Teste da Razão para Convergência Absoluta

Supondo uma série ∑ a n x n , para que ela seja convergente precisamos garantir que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x n < 1

beleza?

Então é esse limite que precisamos encontrar!

Nossa série

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n → a n x n = n + 1 x n

a n + 1 = n + 2 x n + 1

Aí nosso limite fica

lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1 n + 1 x n

A parte em x pode sair para fora do limite, e simplificando os máximo ficamos com esse limite aqui

| x | lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1

No infinito podemos desconsiderar as constantes + 2   e ( + 1 ) , pois a potência de x é muito maior do que uma constante, aí nosso limite fica assim

lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 ≅ lim n → ∞ ⁡ n n = 1

Aí para que a série seja convergente, precisamos que

x lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 ⏝ = 1 < 1

sendo assim, precisamos que | x | seja

x < 1

Esse é nosso raio de convergência!

Partindo do raio de convergência encontramos nosso intervalo:

I c :   - 1 < x < 1

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 1 ,   x = 1

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Para o primeiro valor de x , com x = - 1 , nossa série de potências

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( - 1 ) n

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n + 1 a n !

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = n + 1 , portanto lim n → ∞ ⁡ n + 1 = ∞ , ok! Primeiro critério já não foi satisfeito! Sendo assim já podemos concluir que a série é divergente e portanto ali o intervalo é aberto

Agora vamos testar com x = 1 :

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( 1 ) n

Fica assim

∑ n = 0 ∞ n + 1

E pelo Teste da Divergência temos que

lim n → ∞ ⁡ n + 1 = ∞ ≠ 0

E nossa série aqui diverge! Nesse extremo nosso intervalo também é aberto

Aí o intervalo de convergência é

I c = ( - 1,1 )

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

g x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

I c = ( - 1,1 )

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

g x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

I c = ( - 1,1 )

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