(Capítulo 11.10 – Exercício 7) Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que ] Também encontre o raio de convergência associado.

Temos a função

Vamos derivar a função algumas vezes e substituir , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Legal, já temos algumas derivadas para os primeiros valores de , agora vamos colocar isso no formato da série de Maclaurin

Podemos escrever como:

Substituindo as derivadas que encontramos no passo 2, temos

Opa, então só temos termos ímpares nessa expansão, repara só: 1, 3, 5, 7, ...

Então, vamos sempre escrever os termos dessa série como um número par+1, porque isso sempre vai dar um número ímpar

Além disso, como o sinal vai trocando, vamos colocar também um , que a cada consecutivo ele vai alternando entre positivo e negativo

Então, podemos escrever:

Achaaaamos a série, ihuuuu

Agora só falta o raio de convergência dela

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado

E aí o nosso raio de convergência vai ser

Fechou?

Sabendo que nossa série de potências é

, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:

Então vamos calcular esse limite:

Temos , então

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

Então, o raio de convergência é

E fimmmm