- Seja . Determine .
Passo 1
O segredo aqui está em acharmos a série de Maclaurin (Taylor centrado em zero). O problema é que essa função é um tanto complicada, pois teremos que derivar várias vezes e temos aí um produto que vai aumentar bastante os cálculos.
Então, podemos calcular a série de , por exemplo, e depois adaptar para chegar em . Para fazer isso, definimos e teremos:
Agora, vamos calcular a expansão em série de Maclaurin dessa função. De forma geral, vamos ter:
Então, para determinar a série, vamos encontrar as derivadas em zero e achar um padrão. Temos que:
Observando as derivadas, vemos que para ordem ímpar, a derivada é zero e para ordem par, a derivada fica variando entre e . Assim, vamos ter:
Assim, consideramos somente os termos pares e nossa série vai ficar:
O não aparece no justamente para que fique alternando de sinal.
Passo 2
Legal, então vimos que:
Como definimos , vamos ter:
E podemos jogar isso na nossa expressão :
Passo 3
Legal, então encontramos a expansão em série de Maclaurin de , mas a questão pediu . Bem, pela forma geral, vamos ter:
Comparando os termos, teremos:
Assim, para , teremos um associado:
Para a igualdade ser verdadeira, os polinômios dos dois lados têm que ser iguais. Ou seja, o grau de é o mesmo e os coeficientes também. Assim, teremos, para o grau:
E, para os coeficientes:
E encontramos o resultado!