9) Qual é a expressão em Série de MacLaurin de 1 / (1 - x) no intervalo -1,1 ?

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos achar a série de MacLaurin de 1 1 - x no intervalo - 1,1 .

E pra isso, vamos lembrar que a sério de Taylor de uma função qualquer f x   é :

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

E que a série de MacLaurin é o caso quando a série de Taylor tem a = 0 . Então queremos achar

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Passo 2

Vamos achar essa n-ésima derivada. Com f x = 1 1 - x

Temos :

f ' x = 1 1 - x 2 → f ' 0 = 1

f ' ' x = 2 1 - x 3 → f ' ' 0 = 2

f ' ' ' x = 3 2 1 - x 4 → f ' ' ' 0 = ( 3 ) ( 2 )

Daí achamos o padrão:

f n = n !

E a série de MacLaurin é:

f x = �� n = 0 ∞ n ! n ! x n

= ∑ n = 0 ∞ x n

Acabamos essa questão. Vamos pra próxima?

Resposta

∑ n = 1 ∞ x n

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