Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

15)

f(x) = ln(x), a = 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... com a função dada, podemos montar a seguinte tabela:

A gente precisa disso porque vamos utilizar a série de Taylor aqui!!

Calma lá que com os próximos passos você vai entender, belezinha?

😉

Passo 2

Então... pela Série de Taylor, podemos reescrever f x da seguinte forma:

ln ⁡ x = f 2 + f ' 2 x + f ' ' 2 x 2 2 ! + f ' ' ' 2 x 3 3 ! + f 4 2 x 4 4 ! + …

Assim, em termos de série, podemos escrever:

ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 n 2 n x - 2 n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 x - 2 n + 1 n + 1 2 n + 1 * n 2 n - 1 n + 1 x - 2 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n n + 1 x - 2 2   ∴

= x - 2 2 < 1 ∴

x - 2 < 2 ∴

R = 2

Ou seja, o raio de convergência é R = 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 n 2 n x - 2 n

R = 2

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