Passo 1
Para começar, vamos calcular as derivadas e procurar um padrão.
Passo 2
Estamos vendo um padrão, certo? Se aplicarmos no ponto veremos mais ainda
Sabemos que o padrão tem um multiplicando e um dividindo. Dá pra perceber que tem um na parte de cima, mas ainda falta resolver um problema com os sinais que não está claro. Vamos pensar no nosso padrão assim:
Aí, cortando os termos ficamos com
Só tem um detalhe, esse padrão que encontramos não inclui o termo , se aplica apenas às derivadas, então, quando formos gerar a série, devemos tirar o termo do somatório.
Passo 3
Beleza! Agora encontramos a nossa expressão para vamos aplica-la na série de Taylor em .
Passo 4
Vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:
Onde . Vamos aplicar isso no problema:
Então, temos o seguinte limite:
Como , temos:
Resposta
