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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Questão 4) Defina x 0 = 0 e x 1 = 1 e

x n + 1 = 1 n + 1 x n - 1 + n n + 1 x n

  1. Prove que

    2. x n + 1 - x n = - 1 n n + 1 !

  2. Prove que

    3. x n = ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 !

  3. Prove que a sequência x n n = 1 ∞ convergente e encontre o seu limite.

Dica: Lembre-se da série de MacLaurin da função e x .

Passo 1

a )

Cara, ele me deu uma expressão que quero provar, mas em cima ele deu quem é o x n + 1 , então eu tal começarmos por ela?

x n + 1 = 1 n + 1 x n - 1 + n n + 1 x n     →

Subtraindo de x n dos dois lados...

x n + 1 - x n = 1 n + 1 x n - 1 + n n + 1 x n - x n     →

E trabalhando um pouco no algebrismos....

x n + 1 - x n = 1 n + 1 x n - 1 + x n n n + 1 - 1   →

x n + 1 - x n = 1 n + 1 x n - 1 + x n - 1 n + 1   →

Colocando esse termo do parênteses em evidência, ganhamos...

x n + 1 - x n = - 1 n + 1 x n - x n - 1

Beleza, simplificamos ao máximo o que devíamos simplificar, agora vamos provar isso na marra mesmo, ou seja, dando valores a n e vendo o que encontramos ;)

Passo 2

Vamos começar com o n sendo 1 ...

x n + 1 - x n = - 1 n + 1 x n - x n - 1               →                 x 1 + 1 - x 1 = - 1 1 + 1 x 1 - x 1 - 1   →

Como x 1 = 1 e x 0 = 0 ...

x 2 - x 1 = - 1 1 + 1  

Agora vamos ver com n = 2 ...

x n + 1 - x n = - 1 n + 1 x n - x n - 1               →                   x 2 + 1 - x 2 = - 1 2 + 1 x 2 - x 2 - 1   →

Como x 2 - x 1 já foi determinado acima...

  x 3 - x 2 = - 1 2 + 1 - 1 1 + 1 = - 1 2 2 + 1 !

Vamos fazer mais uma iteração? Então para n = 3 ...

x n + 1 - x n = - 1 n + 1 x n - x n - 1               →                 x 3 + 1 - x 3 = - 1 2 + 1 x 3 - x 3 - 1   →  

x 4 - x 3 = - 1 3 + 1 - 1 2 + 1 - 1 1 + 1 = - 1 3 3 + 1 !

Deu para você pegar o que está acontecendo? Então quando n = m ...

x n + 1 - x n = - 1 n + 1 x n - x n - 1               →                 x m + 1 - x m = - 1 m m + 1 !  

Chamando m de n (por uma questão apenas de nomenclatura), ganhamos por inspeção....

x n + 1 - x n = - 1 n n + 1 !

Passo 3

b )

Vamos precisar aqui da expressão que acabamos de verificar que é verdadeira

x n = x n + 1 - - 1 n n + 1 !

Vamos utilizar a informação que queremos provar, ou seja, que...

x n = ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 !         →                

Se isso é verdade, então sabemos também quem é o x n + 1 (basta somar 1 onde tiver o n )

x n + 1 = ∑ k = 0 n - 1 k k + 1 !  

Jogando esse último cara na expressão que encontramos o item a ...

x n = ∑ k = 0 n - 1 k k + 1 ! - - 1 n n + 1 !         →

Veja que podemos desmembrar essa soma removendo o último termo da parada (aí a série fica indo até n - 1 ):

x n = - 1 n n + 1 ! + ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 ! - - 1 n n + 1 !       →

Isso implica que...

x n = ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 !

Então sim, essa expressão é verdadeira!

Passo 4

c )

Queremos provar que a sequência

x n n = 1 ∞

É convergente. Como a expressão do termo geral é a série:

x n = ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 !

Temos que ver o que acontece com esse cara no infinito...

lim x → ∞ ⁡ x n = lim x → ∞ ⁡ ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 ! =

∑ k = 0 ∞ - 1 k k + 1 !

Então no caso temos que saber qual é o valor dessa série aí. Pela dica, temos que comparar com a série de MacLaurin para e x que é ninguém mais que a importante série

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Se tomarmos então o x = - 1 ...

1 e = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n !

Se chamarmos de n = k + 1 ... onde quando n = 0   →         k = - 1

1 e = ∑ k = - 1 ∞ - 1 k + 1 k + 1 ! =

Calculando o primeiro termo (para fazermos k começando de 0 )

1 + ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 k + 1 ! =

Como - 1 k + 1 = - 1 k - 1 ...

1 + ∑ k = 0 ∞ - 1 k - 1 k + 1 ! = 1 - ∑ k = 0 ∞ - 1 k k + 1 ! = 1 e

Olha que legal! Essa série aí é justamente quem a gente quer. Isolando-a, portanto...

1 - ∑ k = 0 ∞ - 1 k k + 1 ! = 1 e           →               ∑ k = 0 ∞ - 1 k k + 1 ! = 1 - 1 e = e - 1 e

Então de fato a sequência...

x n n = 1 ∞

lá no infinito tendo ao valor dessa série, ou seja, esse é o seu limite ;D

Resposta

  1. x n + 1 - x n = - 1 n n + 1 ! - Prova-se por inspeção.
  2. x n = ∑ k = 0 n - 1 - 1 k k + 1 ! – Prova-se por inspeção.
  3. e - 1 e

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