PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2
Questão 4:
- Determine se a seguinte série é convergente.
- Caso a série seja convergente, encontre seu valor.
Passo 1
Ora, no exercício 2 desta prova, vimos quem era a representação em série de Taylor da função seno centrado no valor :
Ainda vimos que o raio de convergência dessa função era infinito!
Agora vejam que a série que temos que verificar é lembra bem a série desse seno:
Se chegarmos a algo parecido com o que temos ali no seno, a gente é capaz de falar que a série converge (a série do seno converge sempre) e ainda vamos poder calcular esse valor como é pedido no item . Vamos nessa?
Passo 2
Letra A:
Veja que podemos pegar esse e colocar dentro de um único parêntese...
Agora, se fizermos...
Isolando ...
Tirando o MMC...
Então veja que de fato encontramos um tal que...
É igual a série que buscamos...
Logo, essa série converge, pois o raio de convergência da série de Taylor para o seno é infinito.
Passo 3
Para encontrar o valor dela, basta substituir ...
Como seno de é ...
Resposta
Letra A: Converge.
Letra B: Converge para...