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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Considere a série de potências

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k + 1 3 k + 1   ( k + 1 )

(b) Encontre explicitamente a função que representa a série no intervalo ( 2 - R ,   2 + R ), onde R é o raio de convergência. (Dica: derive a série uma vez)

Passo 1

Bom, vimos na letra A que o raio e o intervalo de convergência é R = 3 e ( - 1,5 ] . Agora, para encontrar a função que representa a série no intervalo (2-R, 2+R), consideraremos φ   ( x ) uma função tal que:

φ   x = ∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k + 1 3 k + 1   ( k + 1 ) , em (-1,5). Derivando termo a termo:

φ ´ x = ∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k 3 k + 1 = - 1 3 ∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k ( x - 2 3 ) k

=   -   1   3 ∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k t k , onde t =   ( x - 2 ) 3

Passo 2

A última série é igual a:

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k t k =   ∑ k = 0 + ∞ ( - t ) k =   1 1 + t

Pois é a série geométrica de razão –t. Observa-se que no intervalo (-1,5), temos que x - 2 < 3 . Assim, o intervalo no qual a série geométrica converge é t < 1 . Então:

φ ´ x =   - 1 3 1 1 + t =   - 1 3 1 1 +   x - 2 3 =   - 1 x + 1

Passo 3

Segue que φ x =   - ln ⁡ x + 1 + k , k uma constante. Avaliando x = 2 , obtemos k = ln ⁡ ( 3 ) . Logo:

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k + 1 3 k + 1 k + 1 =   - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ 3 = l n ⁡ ( 3 x + 1 )

Resposta

(b)   l n ⁡ ( 3 x + 1 )

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