Considere a série de potências
(b) Encontre explicitamente a função que representa a série no intervalo ), onde R é o raio de convergência. (Dica: derive a série uma vez)
Passo 1
Bom, vimos na letra A que o raio e o intervalo de convergência é e . Agora, para encontrar a função que representa a série no intervalo (2-R, 2+R), consideraremos uma função tal que:
, em (-1,5). Derivando termo a termo:
, onde
Passo 2
A última série é igual a:
Pois é a série geométrica de razão –t. Observa-se que no intervalo (-1,5), temos que . Assim, o intervalo no qual a série geométrica converge é . Então:
Passo 3
Segue que, k uma constante. Avaliando , obtemos . Logo:
Resposta
(b)