Questão 4: A soma da série
para é:
Passo 1
Vamos começar trabalhando um pouco com a nossa série:
Show! Agora, por que fizemos essa separação? Pow, pois um termo parece muito que veio de uma derivada enquanto o outro de uma integral, conseguiu ver isso? Não? Então venha comigo!
Passo 2
Se tirarmos um da primeira série então:
E aplicar à derivada e a integral ao mesmo tempo...
Perceba que não alteramos em nada, já que uma operação cancelando a outra, ou seja a derivada cancela a integral na primeira e a integral cancela a derivada no segundo somatório. Podemos jogar o somatório para fora dos parênteses invertendo a posição entre integral e série no primeiro caso e entre derivada e série no segundo:
E agora, ao integrar o primeiro termo e derivar o segundo, ficaremos...
Sabe qual é o legal de fazer isso? É que nós conhecemos essa série aqui:
Ou ainda, colocando a série começando de ...
Sendo assim:
Agora quem é a série de ?
Passo 3
Pow, a gente pode transformar esse em um (que é o que a gente sabe). Como fazemos isso? Acertou se falou mudança de variável. Se não acertou, não fique triste! Venha comigo:
Como queremos elevado a alguém sem aquele , fazemos a mudança:
Substituindo então no somatório:
Como é só um nome, podemos voltar a chama-lo de :
Viu só? E quem é essa série? Isso mesmo:
Passo 4
Substituindo o resultado desse último passo na igualdade que havíamos parado lá em cima:
Chegamos aqui:
Agora é só derivar e integrar mesmo! Bora?
Passo 5
Primeiro vamos derivar:
Ora, a derivada de constante é , então só temos que derivar esse termo aqui:
Aplicando a regra da fração:
Como a derivada de é ...
Passo 6
Agra, vamos calcular aquela integral lá:
Poxa, essa integral é direta, neh? E vale:
O sinal na frente do é apenas porque se se derivar, aparece o da frente do . Show, mas agora temos que determinar essa constante !
Passo 7
O resultado da nossa série é o seguinte: É a soma do resultado da derivada com o da integral...
Só que é essa constante ? É a constante que surge quando integramos certo? Mas você sabia que tem como de conhecer tal constante? Basta a gente saber um valor da série para um dado conhecido! Qual é o mais bacana de todos que nos dá uma série conhecida?
Pois:
Saca?
Então...
Substituindo...
Como ...
Então a resposta é simplesmente: