PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1
Questão 3 (Justifique todas as suas respostas):
Escreva a função
como uma série de potências e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Para começar o nosso problema, vamos escrever a função em função de de forma que...
Onde .
Eu fiz essa separação para facilitar a vida, já que a série de não é conhecida, mas a da sua derivada é! (e não queremos derivar um produto com ne). Por isso a separação, sacou? Então vamos buscar quem é a em função de série, primeiro!
Passo 2
A série de não é de fato algo que a gente memoriza antes da prova, mas a série de sua derivada...
É sim algo que a gente sabe de có: a série geométrica...
No nosso caso, substituindo por ...
Ora, temos em função de série. Entretanto, temos que encontrar o . Como podemos fazer agora? SIM! Integrar de ambos os lados:
Ora, como a série converge, podemos trocar a ordem da integral com o somatório:
Essa constante é a constante de integração (afinal calculamos uma integral indefinida). Podemos encontrar o seu valor lembrando-se de que e que...
Então...
Então concluímos que é em série...
Passo 3
Podemos voltar para onde paramos, ou seja...
Então, multiplicando a série por ...
Então, concluímos que a série é...
Passo 4
Só falta determinar o raio de convergência da série. Sabemos pela teoria que podemos encontrar o raio de uma série calculando , onde é o limite que satisfaz o teste da razão:
Onde deve ser menor que para a convergência. é o termo:
Então...
Como ...
Como é positivo e módulo de é ...
Dividindo doto mundo dentro do limite por ...
Sabemos que para convergir, tem que ser menor que , logo...
E o raio de convergência aqui é .
Resposta
E