Seja , determine o valor de , onde é a décima primeira derivada da função
Passo 1
Opa, aqui temos duas alternativas. Podemos fazer as contas para a e trocar por .
Jogando no programa que faz derivadas, a resposta seria algo assim
Olha que delicia isso hein?!
Não rola tentar achar isso na mão, mas repara que seguinte, a série de Taylor de , centrada em é relativamente tranquila de achar. Com essa série em mãos, é só multiplicar por para acharmos em forma de série.
No final, vamos comparar a série de potência que achamos, com série de Taylor de .
Vamos para o passo a passo disso para entendermos bem isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a série de Taylor de , centrada em , para isso vamos considerar
Vamos começar achando as derivadas
Afinal, derivar vai dar sempre no mesmo, que é .
Fazendo
Então vamos ter
Podemos escrever da seguinte forma
Passo 3
Beleza, agora vamos achar a série de potência da
Como
Temos
Passo 4
Se olharmos para a série de Taylor da centrada em , vamos ter
Para não confundirmos os coeficientes, vamos trocar esse por
Vimos que a nossa também vai ser
Assim, podemos comparar essas duas séries. Para isso, vamos comparar os coeficientes da série
Assim, devemos ter
Se ele quer a , devemos ter
Assim,
Simplificando esse