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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 7b

Obtenha representação em série de potências para cada função abaixo e determine o seu intervalo de convergência

b )   g x = ln ⁡ ( x + 3 )

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir a cara e o intervalo de convergência dessa função aqui

g x = ln ⁡ ( x + 3 )

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série de potências representa uma função g ( x ) quando podemos relacionar as derivadas n-ésimas das funções, assim

g x = ∑ n = 0 ∞ f n ' 0 n ! x n

É o que chamamos de Série de Maclaurin da função g ( x )

Mas não precisamos encontrar um padrão! Temos algumas séries na tabela e podemos ver qual mais se encaixa na nossa função!

Algumas dessas séries são:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n n

Você pode verificar outras séries padrão lá no nosso site!

E depois? Depois que tivermos a série de potências, vamos encontrar o raio de convergência (que são os valores de x nos quais a série resultante é convergente) através do Teste da Razão para Convergência Absoluta

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

g x = ln ⁡ ( x + 3 )

Vamos comparar com as séries padrão e procurar uma que tenha   ln ⁡ ( 1 + a l g u m a   c o i s a )  

Olhando com carinho as séries que listei no passo 1 , essa aqui chama muito atenção

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n n

Note que temos 1 + x , onde x = ( a l g u m a   c o i s a )

Tranquilo até aqui?

No nosso caso o a l g u m a   c o i s a = 2 , assim ln ⁡ ( x + 3 ) = ln ⁡ 1 + x + 2 :

ln ⁡ ( x + 3 ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n

Essa é nossa série de potências!

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o raio e o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades!

Vamos aplicar o Teste da Razão para Convergência Absoluta

Supondo uma série ∑ a n x n , para que ela seja convergente precisamos garantir que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x n < 1

beleza?

Então é esse limite que precisamos encontrar!

Nossa série

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n → a n x n = x + 2 n n

Trocando n → n + 1

a n + 1 x n + 1 = x + 2 n + 1 n + 1

Aí nosso limite fica

lim n → ∞ ⁡ x + 2 n + 1 n + 1   . n x + 2 n  

A parte em x pode sair para fora do limite, e simplificando ao máximo ficamos com esse limite aqui

| x + 2 | lim n → ∞ ⁡ n n + 1

No infinito podemos desconsiderar a constante ( + 1 ) , pois a potência de x é muito maior do que uma constante, aí nosso limite fica assim

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ≅ lim n → ∞ ⁡ n n = 1

Aí para que a série seja convergente, precisamos que

x + 2 lim n → ∞ ⁡ n n ⏝ = 1 < 1

sendo assim, precisamos que | x + 2 | seja

x + 2 < 1

R = 1 é esse é nosso raio de convergência!

Partindo do raio de convergência encontramos nosso intervalo:

  - 2 + 1 < x < 2 + 1

I c : - 1 < x < 3

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 1 ,   x = 3

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Para o primeiro valor de x , com x = - 1 , nossa série de potências

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 - 1 + 2 n n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 n

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n + 1 a n !

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = 1 n , portanto lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0 , ok! Primeiro critério já foi satisfeito!

a n + 1 = 1 n + 1 < 1 n = a n

Oba! Segundo critério satisfeito!

Sendo assim já podemos concluir que a série é convergente e portanto ali o intervalo é fechado

Agora vamos ver com x = 3 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 5 n n

Temos uma série que tem razão com exponencial e polinômio: Teste da Razão para Convergência Absoluta!

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x n = lim n → ∞ ⁡ 5 n + 1 n + 1   . n 5 n = 5 . lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⏝ = 1

= 5 > 1

Encontramos um valor maior do que 1 , logo a série é divergente! E nesse extremo o intervalo é também aberto

Aí o intervalo de convergência é

I c = ( - 1 , 3 )

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

ln ⁡ ( x + 3 ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n

I c = ( - 1 , 3 )

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

3 1 - x 4 = ∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n

I c = ( - 1,3 )

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