Resolva:
a) Encontre a expansão de Taylor da função ao redor do ponto .
b) Use o resultado do item (b) para encontrar uma série de potências para
Passo 1
a) Falaaa! Tá bem?
Um bizu que vou te dar: quando a gente encontra esse log com um termo linear no argumento (no nosso caso o ), é mais jogo a gente achar a expansão da derivada dessa função primeiro. E depois achar a da função em si. Como vai ser isso? Vem descobrir!
Vamos chamar
Temos que
Então a gente vai começar achando a expansão de Taylor de . Para facilitar, vamos chamar ela de .
Passo 2
Começamos calculando o valor da função e as derivadas sucessivas de , no ponto (que o enunciado pede), para ver se achamos um padrão. Para ajudar a gente na reflexão, vamos numerar elas de
Botamos no valor da função sem derivar ainda, tá?
Passo 3
A gente agora vai tentar entender o padrão dessa derivada:
Percebe que o sinal dela vai mudando, então a gente vai ter um termo que indica que temos uma série alternada . Esse expoente tá certinho, já que para , temos um termo positivo e para , temos um termo negativo. Então temos .
E para finalizar, em , a gente tem esse termo
E em
Repara que para um valor de , a gente vai ter o termo
Aí com essas observações, a gente encontrou um padrão para as derivadas
Passo 4
Agora a gente substitui isso na fórmulinha de série de Taylor em torno de :
Como
E pelo teste da razão, essa série vai ter o intervalo de convergência
Passo 5
Mas a gente não quer achar a expansão de , mas de , lembra? Então a gente vai precisar fazer mais uma coisinha. Como:
Então
Aí a gente calcula
Aí a gente usa a regrinha de integrar polinômios e
Era isso que a gente queria!
Passo 6
Ela mantém o mesmo intervalo de convergência . Mas precisamos descobrir que se é um intervalo fechado ou aberto nas extremidades.
- Limitante inferior do intervalo:
O expoente do , fica ímpar, então ali só dá . E essa série diverge. A gente pode ver isso fazendo a comparação no limite dela com a série harmônica, que tem termo , e também diverge.
- Limitante superior do intervalo:
Essa série converge condicionalmente (a gente pode usar o teste da série alternada nela para provar).
Aí a gente pode dizer que nosso raio de convergência é . E que o intervalo de convergência é , beleza?
Passo 7
b) A gente precisa calcular
A gente viu que
Vamos substituir isso na integral, e jogar para fora o que é constante.
Usando uma propriedade de potência, a gente pode simplificar esse integrando, assim:
Usamos de novo a regrinha de integração para polinômios e achamos:
Resposta
a)
b)