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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a série de

sen ⁡ t t

Para isso vamos lembrar da série de s e n ⁡ ( t )

sen ⁡ t = ∑ k = 0 ∞ - 1 k t 2 k + 1 2 k + 1 !  

Agora, para o caso de

sen ⁡ t t = ∑ k = 0 ∞ - 1 k t 2 k + 1 t   2 k + 1 ! = ∑ k = 0 ∞ - 1 k t 2 k 2 k + 1 !    

Passo 2

Beleza, já temos a série. Agora basta integrar

∫ 0 x sen ⁡ t t d t = ∫ 0 x ∑ k = 0 ∞ - 1 k t 2 k 2 k + 1 !   d t

∫ 0 x ∑ k = 0 ∞ - 1 k t 2 k 2 k + 1 !   d t = ∑ k = 0 ∞ - 1 k t 2 k + 1 2 k + 1 ! ( 2 k + 1 )   0 x

Aplicando os limites de integração

∫ 0 x sen ⁡ t t d t = ∑ k = 0 ∞ - 1 k x 2 k + 1 2 k + 1 ! ( 2 k + 1 )   -   ∑ k = 0 ∞ - 1 k 0 2 k + 1 2 k + 1 ! ( 2 k + 1 )  

∫ 0 x sen ⁡ t t d t = ∑ k = 0 ∞ - 1 n x 2 k + 1 2 k + 1 ! ( 2 k + 1 )  

Passo 3

Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência.Temos que aplicar o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c k = - 1 k 2 k + 1 ! ( 2 k + 1 )

c k + 1 = - 1 k + 1 2 k + 3 ! ( 2 k + 3 )

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ - 1 k + 1 2 k + 3 ! ( 2 k + 3 )   2 k + 1 ! ( 2 k + 1 ) - 1 k =

= lim k → ∞ ⁡ ( - 1 ) 2 k + 2 2 k + 3 2 = 0 = L

Como R = 1 / L , temos:

R = ∞

Resposta

R = ∞

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