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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Exercício 421234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Considere

f x = 1 1 + 2 x 2

  1. Determine a série de Maclaurin de f x e seu raio de convergência.
  2. Use a série do item anterior para calcular a soma da série

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 2 n

Passo 1

Bem, a série de Maclaurin é a representação em série da função dessa forma aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Então no caso precisamos buscar quem é esse coeficiente a n . Poderíamos fazer isso pela definição (que daria muuuito trabalho) ou, no caso, podemos fazer algumas comparações. Veja bem, conhecemos a integral da f x ...

∫ f x d x = F x = ∫ 1 1 + 2 x 2 d x =

Fazendo uma mudança...

1 + 2 x = a     →           d a = 2 d x     →             d x = d a 2

1 2 ∫ 1 a 2 d a = 1 2 - 1 a

Voltando para a variável original...

F x = - 1 2 1 + 2 x

E por comparação com a série

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x ,           x < 1

Conseguimos obter a expressão da função integral F x saca? Então venha comigo :D

Passo 2

F x = - 1 2 1 + 2 x =

- 1 2 1 1 + 2 x

Se 2 x < 1 , então a gente pode fazer um truque matemático pra fazê-la ficar parecida com a série que a gente quer...

F x = - 1 2 1 1 - - 2 x =

Por comparação com ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

- 1 2 1 1 - - 2 x = - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 2 x n

Então chegamos a uma expressão para a integral. Como fazemos para chegar a expressão da derivada?

Passo 3

Ora derivando...

f x = F ' x = - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 2 x n ' =

- 1 2 ∑ n = 0 ∞ n - 2 x n - 1

Vamos só dar uma arrumada nisso aí, ok, mas essa já é a série de Maclaurin pedida.

Podemos melhorar a cara dessa expressão fazendo uma mudança de nome desse n = m + 1 ...

- 1 2 ∑ m + 1 = 0 ∞ m + 1 - 2 x m + 1 - 1 =

- 1 2 ∑ m = - 1 ∞ m + 1 - 2 x m

Como quando m = - 1 o termo 0 , podemos começar então a partir do m = 0 , saca?

f x = - 1 2 ∑ m = 0 ∞ m + 1 - 2 x m

É incomum deixar o índice como m , então mudamos o nome para n (perceba que é só o nome, mas no fundo continua a mesma coisa)

f x = - 1 2 ∑ n = 0 ∞ n + 1 - 2 x n

Por fim, passamos esse termo - 1 2 para dentro...

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 - 1 - 2 x n 2

Como - 2 x n = - 1 2 x n = - 1 n 2 n x n ...

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 - 1 n x n 2 =

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 n + 1 x n

Prontinho! Essa é a série de Maclaurin do jeito clássico. Nela percebemos que os índices a n é - 1 n + 1 2 n - 1 n + 1 percebeu?

Passo 4

b )

Queremos chegar ao valor de

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 2 n

Podemos usar a expressão em a

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 - 1 - 2 x n 2

Perceba que embora peguei a f x mais conveniente.

Se substituirmos x = 1 4 ...

f 1 4 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 - 1 - 2 1 4 n 2 =

∑ n = 0 ∞ n + 1 - 1 - 1 2 n 2 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 - 1 - 1 n 2 n 2 =

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 n + 1 2 n + 1 = - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 2 n

Como

f 1 4 é igual na função...

f x = 1 1 + 2 x 2                 →                     f 1 4 = 1 1 + 2 1 4 2 =

f 1 4 = 1 3 2 2 = 4 9

Então...

- 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 2 n = 4 9       →

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 2 n = - 8 9

Sacou?

Resposta

a ) ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 n + 1 x n

b ) - 8 9

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