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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Teste 10: A soma da série

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 2 !

Par x ∈ R e x ≠ - 2 é:

  1. 1 x + 2 e x + 2 - 1
  2. 1 x + 2 2 e x + 2
  3. 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2 - x + 2 2 2
  4. 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2

Passo 1

Bem, sabemos que a série...

∑ n = 0 ∞ x n n ! = e x

É muito parecido com o que queremos, neh? Só que teremos que fazer alguns ajustes nela: primeiro vamos derivar para encontrar um termo mais parecido com n + 2 ali em baixo...

d d x ∑ n = 0 ∞ x n n ! = d d x e x →

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 n ! = d d x e x →

∑ n = 1 ∞ x n - 1 n - 1 ! = e x

Sim, encontramos o oposto de n + 2 , mas isso é bom também, você vai entender. Por agora, só venha para a segunda derivada...

d d x ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n - 1 ! = d d x e x →

∑ n = 2 ∞ x n - 2 n - 2 ! = e x

Poxa, se forçarmos n - 2 virar um n + 2 ...

n - 2 = m + 2       o u       n = m + 4

Então...

∑ m = - 2 ∞ x m + 2 m + 2 ! = e x

Voltando para n ...

∑ n = - 2 ∞ x n + 2 n + 2 ! = e x

Dividindo tudo por x 2 para esquecer:

1 x 2 ∑ n = - 2 ∞ x n + 2 n + 2 ! = 1 x 2 e x →

∑ n = - 2 ∞ x n n + 2 ! = 1 x 2 e x

E fazendo a série começar de 0 ...

x - 2 - 2 + 2 ! + x - 1 - 1 + 2 ! + ∑ n = 0 ∞ x n n + 2 ! = 1 x 2 e x

∑ n = 0 ∞ x n n + 2 ! = 1 x 2 e x - x - 2 0 ! - x - 1 1 !

Passo 2

Agora é só mudar o x →     x + 2

∑ n = 0 ∞ x n n + 2 ! = 1 x 2 e x - 1 x 2 - 1 x

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 2 ! = 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 x + 2 2 - 1 x + 2

E a resposta correta é a letra d .

Resposta

1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2

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