UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 11
A expressão em série de potência em torno do ponto da função
é dada por?
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
Nós precisamos encontrar a série de potências que representa a função
para isso, é interessante usar a forma de uma série de potências de Maclaurin (ou taylor com ), temos que
poderíamos resolver este problema na força bruta aplicando a definição diretamente à função dada! Ou, podemos facilitar a nossa vida calculando a expressão para uma função mais simples e alterando ela para obtermos o resultado desejado! Consegue pensar em uma função adequada? Saca só!
Passo 2
Podemos usar a expansão em séries de potência da função
avaliando a série de Maclaurin desta função, temos que com , obtemos que
Com , precisamos derivar a função uma vez, para obter que
Lembra como calcular esta derivada? Vem comigo!
Passo 3
Temos que esta é uma função composta da forma , ou seja, sua derivada é dada pela regra da cadeia como
aqui temos que e temos que , desta forma temos pela regra do tombo que
como temos que , esta derivada é simplesmente
ainda precisamos calcular a seguinte derivada
a derivada de constantes é sempre zero, e a derivada de em relação a é , portanto, temos que
O termo de é tal que
Agora, precisamos calcular o termo de , note que ele tem a forma
A derivada que precisamos calcular tem o mesmo formato que a derivada anterior, mas agora o expoente é , isso muda apenas a nossa regra do tombo, e obtemos o seguinte
e agora, ganhamos um expoente . Este expoente sempre estará ficando mais negativo de menos um em menos um. E, isso sempre fará com que ele elimine o termo fatorial da definição da série de Maclaurin. Para ficar claro, vamos fazer apenas o próximo termo! belezinha? Saca só!
Passo 4
Para , temos que
Calculando a derivada da mesma forma que fizemos nos passos anteriores, temos que
Tendo então que o termo fatorial sempre irá desaparecer e que sempre que avaliamos em , nosso coeficiente se torna , temos que a série de Maclaurin é
Legal! Mas e daí? Como isso ajuda a achar a que queríamos? Para isso, vamos perceber que enquanto derivamos a nossa função pela segunda vez, nós obtemos que
Ou seja, nossa função é dada por
Note que o fator dividindo por aparece porquê a segunda derivada de tem um fator multiplicando que a nossa função não tem! Isso é ótimo, pois temos a expansão em série de , usando ela e o fato que acabei de apresentar, podemos encontrar a nossa expressão em série de potências! Bora lá!
Passo 5
Usando que , temos que
A derivada pode entrar dentro do somatório sem problemas nenhum, portanto, podemos escrever que
Usando a regra do tombo, temos que
e, se usarmos a regra do tombo novamente, temos que
Ou seja, a representação em série de potências de nossa função é dada por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!