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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Passo 1

Primeiro temos que encontrar nossa f ( x ) para isso faremos

f x = ∫ f ' x   d x = ∫ sen ⁡ x d x

f x = - cos ⁡ x + C

Para determinar C basta usar a condição inicial que o problema nos deu

f 0 = 0

0 = - cos ⁡ 0 + C

C = 1

Passo 2

Agora que determinamos

f x = - cos ⁡ x + 1

Vamos usar a série de Taylor do cos ⁡ x que já conhecemos

cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ - 1 k x 2 k ( 2 k ) !

f x = 1 - ∑ k = 0 ∞ - 1 k x 2 k ( 2 k ) !

f x = 1 + ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 x 2 k ( 2 k ) !

Passo 3

Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c k = - 1 k + 1 2 k !

c k + 1 = - 1 k + 2 2 ( k + 1 ) !

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ - 1 k + 2 2 ( k + 1 ) ! 2 k ! - 1 k =

= lim k → ∞ ⁡ 1 ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) = 0 = L

Como R = 1 / L , temos:

R = ∞

Resposta

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