Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 10 – Exercício 5
(Capítulo 11.10 – Exercício 5) Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
E aeeee galera, vamos lá pra mais uma?
Aqui vamos ter uma função , e aí queremos escrever essa função no formato da série de Maclaurin.
Só pra relembrar, a série de Maclaurin é da forma
Onde é a n-ésima derivada no ponto
Então vamos lá
Passo 2
Temos a função
Vamos derivar a função algumas vezes e substituir , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe
Podemos perceber o padrão, de forma geral temos
Passo 3
Show, então a série para a função é
Para a função que estamos trabalhando nesse exercício, encontramos , então
Uhuuuu, encontramos a série, agora vamos encontrar o raio de convergência
Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Passo 4
Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:
Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado
E aí o nosso raio de convergência vai ser
Fechou?
Sabendo que nossa série de potências é
, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:
Então vamos calcular esse limite:
Temos , então
Vamos fazer L’Hospital para sair da indeterminação. Derivando em cima e embaixo:
Então, o raio de convergência é
E fimmmm