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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 7a

Obtenha representação em série de potências para cada função abaixo e determine o seu intervalo de convergência

  1. f x = 3 1 - x 4

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir a cara e o intervalo de convergência dessa função aqui

f x = 3 1 - x 4

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série de potências representa uma função g ( x ) quando podemos relacionar as derivadas n-ésimas das funções, assim

g x = ∑ n = 0 ∞ f n ' 0 n ! x n

É o que chamamos de Série de Maclaurin da função g ( x )

Mas não precisamos encontrar um padrão! Temos algumas séries na tabela e podemos ver qual mais se encaixa na nossa função!

Algumas dessas séries são:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Você pode verificar outras séries padrão lá no nosso site!

E depois? Depois que tivermos a série de potências, vamos encontrar o raio de convergência (que são os valores de x nos quais a série resultante é convergente) através do Teste da Razão para Convergência Absoluta

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = 3 1 - x 4

Vamos comparar com as séries padrão e procurar uma que tenha 1 - ( a l g u m a   c o i s a ) no denominador!

Olhando com carinho as séries que listei no passo 1 , essa aqui chama muito atenção

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Note que temos 1 - x , onde x = ( a l g u m a   c o i s a )

Tranquilo até aqui?

No nosso caso o a l g u m a   c o i s a = x 4 e temos um fator 3 multiplicando toda a série:

3 1 - x 4 = 3 ∑ n = 0 ∞ ( x 4 ) n = ∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n

Essa é nossa série de potências!

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o raio e o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades!

Vamos aplicar o Teste da Razão para Convergência Absoluta

Supondo uma série ∑ a n x n , para que ela seja convergente precisamos garantir que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x n < 1

beleza?

Então é esse limite que precisamos encontrar!

Nossa série

∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n → a n x n = 3 x 4 n

Trocando n → n + 1

a n + 1 = 3 x 4 n + 4

Aí nosso limite fica

lim n → ∞ ⁡ 3 x 4 n + 4 3 x 4 n

A parte em x pode sair para fora do limite, e simplificando os máximo ficamos com esse limite aqui

| x 4 | lim n → ∞ ⁡ 1

Aí para que a série seja convergente, precisamos que

x 4 lim n → ∞ ⁡ 1 ⏝ = 1 < 1

sendo assim, precisamos que | x 4 | seja

x 4 < 1

Esse é nosso raio de convergência!

Partindo do raio de convergência encontramos nosso intervalo:

I c :   - 1 < x < 1

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 1 ,   x = 1

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Para o primeiro valor de x , com x = - 1 , nossa série de potências

∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n = ∑ n = 0 ∞ 3 ( - 1 ) 4 n = ∑ n = 0 ∞ 3

E pelo Teste da Divergência temos que

lim n → ∞ ⁡ 3 = 3 ≠ 0

E nossa série aqui diverge! Nesse extremo nosso intervalo é aberto

Agora vamos ver com x = 1 :

∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n = ∑ n = 0 ∞ 3

Temos a mesma série! Isso significa que em x = 1 o intervalo também é aberto

Aí o intervalo de convergência é

I c = ( - 1,1 )

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

3 1 - x 4 = ∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n

I c = ( - 1,1 )

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

3 1 - x 4 = ∑ n = 0 ∞ 3 x 4 n

I c = ( - 1,1 )

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