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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

( a ) Encontre a série de Taylor da função f x = ln ⁡ x centrada em x = 1 .

( b ) Calcule como uma série de potência a integral ∫ ln ⁡ x x - 1 d x centrada em x = 1 .

Passo 1

( a )

Vamos lembrar:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r ,     p a r a   t o d o   r < 1

Bom, apareceu um logaritmo e você quer escrever como somatório, derive!!!

f x = ln ⁡ x

f ' x = 1 x

Como queremos a série centrada x = 1 , faremos assim:

f ' x = 1 1 - 1 - x

Passo 2

Agora substituímos no somatório ali em cima!

1 1 - 1 - x = ∑ n = 0 ∞ 1 - x n ,     p a r a   x - 1 < 1

1 1 - 1 - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x - 1 ) n ,     p a r a   x - 1 < 1

Passo 3

Mas o que nos interessa é saber f ( x ) , então temos que integrar ambos os lados:

f ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n

∫ f ' x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n d x

f x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x - 1 n d x

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 + C

Quando x = 1 :

f 1 = ln ⁡ 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 - 1 n + 1 n + 1 + C = 0

C = 0

Passo 4

( b )

Precisamos resolver a seguinte integral:

∫ ln ⁡ x x - 1 d x

Mas a função ln ⁡ x já foi encontrada (centrada em x = 1 ). Vamos simplificar esse termo da integral:

ln ⁡ x x - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 x - 1

ln ⁡ x x - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n + 1 ( n + 1 ) ( x - 1 )

ln ⁡ x x - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n ( n + 1 )

Passo 5

Agora substituindo na integral:

∫ ln ⁡ x x - 1 d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n ( n + 1 ) d x

∫ ln ⁡ x x - 1 d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x - 1 n n + 1 d x

∫ ln ⁡ x x - 1 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 2 + C

Somamos uma constante porque a integral é indefinida.

Resposta

a f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n + 1 n + 1

b ∫ ln ⁡ x x - 1 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 2 + C

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