2. A área de um círculo aumenta a uma taxa constante de . Calcule a taxa de variação da sua circunferência quando o raio é igual a .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um probleminha de taxa relacionada. Nós vamos precisar relacionar a taxa de variação do aumento da área com círculo, com o a taxa de variação do aumento da sua circunferência. Ou seja, ele quer saber quem é
Mas para fazer isso, vamos precisar primeiro, estabelecer uma relação entre eles.
Para quem não lembra, a área do circulo é dada por:
Já a circunferência é dada por:
Agora vamos relacioná-los!
Passo 2
Galerinha, repara, que podemos estabeler uma relação entre a área e a circunferência , pelo raio.
Isolando o raio da equação da circunferência, ficamos com
Substituindo na equação da área, ficamos com
Como, ambos variam de acordo com o tempo, podemos fizer que ambos são função do tempo e escrever.
Prontinho! Estabelecemos uma relação!
Passo 3
Agora preciamosa relacionar as duas taxas de variação, ou seja, relacionar as duas derivadas.
Derivando em função do tempo, ficamos com
Ajeitando,
Mas o problema nos disse que área de um círculo aumenta a uma taxa constante de , ou seja,
Logo,
Isolando, então o nosso,
Mas ainda não acabamos!
Passo 4
O problema nos pediu para calcular a taxa de variação da sua circunferência quando o raio é igual a e na nossa equação não temos o raio. Mas lembra que
Substituindo,
Como temos que ,