Um reservatório de água no formato de um cone circular reto (vértice em baixo) está sendo enchido a uma taxa de 0,1 m 3 / s . O vértice está a 15 metros do topo e o raio do topo é de 10 metros. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h = 5 ( h medindo de baixo para cima)?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um reservatório de água em formato de cone circular de 15 metros de altura e com raio superior de 10 metros, ou seja:

Onde h é a altura da água.

Queremos encontrar a velocidade com que a água está subindo no momento em que h = 5 metros.

Para isso, temos que saber que o volume V do cone é dado por:

V = π r 2 h 3

Onde r é o raio de acordo com a altura h .

Assim, temos que derivar essa equação e relação ao tempo para descobrirmos a velocidade da água.

Então vamos devagarinho aqui que vai dar certo!!

😉

Passo 2

Bom... primeiramente vamos relacionar h e r para não ficarmos utilizando duas variáveis.

Podemos fazer essa relação através de uma semelhança de triângulos. Assim, analisando a figura do Passo 1, temos:

15 r = 10 h ∴

r = 2 3 h

Assim, substituindo na equação do volume, temos:

V = π 2 3 h 2 h 3 ∴

V = 4 π h 3 27

Agora temos que derivar essa equação em função do tempo!!

Passo 3

Utilizando a regra da cadeia, temos:

d V d t = d V d h ∙ d h d t

Onde

d V d t = 0,1 m 3 / s

E

d V d h = 4 π h 2 9

Assim, substituindo e fazendo h = 5 , temos:

0,1 = 4 π h 2 9 * d h d t ∴

d h d t = 9 π 10 3   m / s

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d h d t = 9 π 10 3   m / s

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