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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

Os ponteiros de um relógio mede 4 cm e 8 cm e movem-se, cada um com sua velocidade, que é constante. Quando o relógio marca exatamente duas horas, a distância entre as pontas dos ponteiros está diminuindo a uma taxa de:

Passo 1

Bom, pra resolvermos algo de taxa relacionada, precisamos da equação que relaciona nossos parâmetros, certo?

Observa que o enunciado nos pergunta a taxa no momento em que o relógio marca 2h, ou seja

Isso nos da um intervalo de 60 ° .

Sou muito grato a minha mãe por ter me ensinado a ler relógio analógico agora!! Se isso fosse sua prova e você não sabia como funciona um relógio desses, só chora.

Passo 2

Bom, agora precisamos relacionar a distancia entre da ponta dos ponteiros

Chamaremos de y a distancia entre as pontas dos ponteiros, e θ o ângulo existente entre eles.

Relacionando esse parâmetros, podemos usar a regra dos cossenos

y = a 2 + b 2 - 2 a b c o s θ

Passo 3

Vamos ver então como que essa distância está variando, já que é o que o enunciado está nos pedindo.

y ' = 1 2 a 2 + b 2 - 2 a b   c o s θ × - - 2 a b s e n θ θ '

Beleza então, nosso problema agora se reduz a encontrar a velocidade com o θ varia.

Precisamos saber a velocidade com que os ponteiros se movimentam. Se você estiver ligado nos paranauê dos relógios analógicos, tem que se ligar que o ponteiro da hora anda 1h (ou seja, 1 / 12 do relógio) quando o ponteido dos minutos dá um volta completa.

Ou seja

ω h = ω m 12

Temos ainda que o ponteiro do minuto dura 60 minutos pra dar a volta completa no relógio ( 2 π ), logo

ω m = 2 π 60 = π 30   r a d / m i n

Então pra a velocidade angular do ponteiro da hora teremos

ω h = π 360   r a d / m i n

Ou seja, sabemos que θ varia a ma velocidade igual a

θ ' = π 30 - π 360 = 11 π 360

Passo 4

Podemos então voltar pra nossa derivada la em cima

y ' = 1 2 a 2 + b 2 - 2 a b   c o s θ × - - 2 a b s e n θ θ '

y ' = 1 2 4 2 + 8 2 - 64   c o s 60 × 64 s e n 60 11 π 360

y ' = 1 2 16 + 64 - 64 2 × 64 3 2 × 11 π 360

y ' = 1 2 48 × 704 π 3 720

y ' = 22 π 3 45 2 4 × 3

y ' = 22 π 3 45 × 2 2 3

y ' = 22 π 180

y ' = 11 π 90   c m / m i n

Resposta

11 π 90   c m / m i n

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