UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 52
Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de , enquanto os outros dois diminuem de modo que a área desse retângulo permanece constante e igual a . Determine a taxa de variação do perímetro desse retângulo quando o comprimento dos lados que aumentam é ; .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do perímetro do retângulo, sabendo que um de seus lados aumenta a uma velocidade de e que os outros dois lados diminuem, mantendo a área constante e igual a .
Vamos chamar de um dos lados do retângulo e de sua variação em relação ao tempo. Então, temos . Vamos chamar de o outro lado e sua variação de .
Nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto entre os lados, então temos:
Além disso, o perímetro desse retângulo vai ser dado pela expressão:
Então, para encontrar a variação do perímetro quando e quando , vamos derivar em relação ao tempo () e substituir os dados na equação.
Vamos lá!
Passo 2
Derivando a expressão do perímetro, temos:
Nós sabemos que , mas não conhecemos o valor de . Na verdade não sabemos nem o valor de . Então, vamos usar a expressão de área pra encontrar essa variável que tá faltando. Assim, quando , temos:
Passo 3
Além disso, derivando em relação ao tempo usando a regra do produto, vamos ter:
Como é constante, sua derivada é zero:
Agora isolando :
Então, substituindo , e , temos:
Passo 4
Dessa forma, substituindo na expressão da taxa de variação do perímetro, temos:
Então, o perímetro está diminuindo a uma taxa de quando o comprimento de um dos lados é .
Passo 5
Pra verificar o que acontece quando um dos lados tem comprimento igual a , a gente segue o mesmo passo a passo.
Primeiro encontrando através da expressão de área:
Agora encontrando , por meio da derivada da área:
Substituindo os dados:
E por fim, substituímos na expressão da taxa de variação do perímetro:
Então, o perímetro está aumentando a uma taxa de quando .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉