Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 2 cm / s , enquanto os outros dois diminuem de modo que a área desse retângulo permanece constante e igual a 50 c m^2 . Determine a taxa de variação do perímetro desse retângulo quando o comprimento dos lados que aumentam é (a) 5 cm ; (b) 10 cm .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do perímetro do retângulo, sabendo que um de seus lados aumenta a uma velocidade de 2   c m / s e que os outros dois lados diminuem, mantendo a área A constante e igual a 50   c m 2 .

Vamos chamar de x um dos lados do retângulo e de d x d t sua variação em relação ao tempo. Então, temos d x d t = 2   c m / s . Vamos chamar de y o outro lado e sua variação de d y d t .

Nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto entre os lados, então temos:

A = x y

Além disso, o perímetro desse retângulo vai ser dado pela expressão:

P = 2 ( x + y )

Então, para encontrar a variação do perímetro quando x = 5   c m e quando x = 10   c m , vamos derivar P em relação ao tempo ( d P d t ) e substituir os dados na equação.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando a expressão do perímetro, temos:

d P d t = 2 d x d t + d y d t

Nós sabemos que d x d t = 2   c m / s , mas não conhecemos o valor de d y d t . Na verdade não sabemos nem o valor de y . Então, vamos usar a expressão de área pra encontrar essa variável que tá faltando. Assim, quando x = 5   c m , temos:

A = x y → 50 = 5 y

y = 50 5 = 10   c m

Passo 3

Além disso, derivando A em relação ao tempo usando a regra do produto, vamos ter:

d A d t = x d y d t + y d x d t

Como A é constante, sua derivada é zero:

x d y d t + y d x d t = 0

Agora isolando d y d t :

d y d t = - y x d x d t  

Então, substituindo x = 5   c m , y = 10   c m e d x d t = 2   c m / s , temos:

d y d t = - 10 5 ∙ 2 = - 4   c m / s

Passo 4

Dessa forma, substituindo d y d t = - 4   c m / s na expressão da taxa de variação do perímetro, temos:

d P d t = 2 d x d t + d y d t

d P d t = 2 2 - 4 = 2 ( - 2 )

d P d t = - 4   c m / s

Então, o perímetro está diminuindo a uma taxa de 4   c m / s quando o comprimento de um dos lados é 5   c m .

Passo 5

Pra verificar o que acontece quando um dos lados tem comprimento igual a 10   c m , a gente segue o mesmo passo a passo.

Primeiro encontrando y através da expressão de área:

A = x y → 50 = 10 y

y = 50 10 = 5   c m

Agora encontrando d y d t , por meio da derivada da área:

d y d t = - y x d x d t  

Substituindo os dados:

d y d t = - 5 10 ∙ 2 = - 1   c m / s

E por fim, substituímos na expressão da taxa de variação do perímetro:

d P d t = 2 d x d t + d y d t

d P d t = 2 2 - 1 = 2 ( 1 )

d P d t = 2   c m / s

Então, o perímetro está aumentando a uma taxa de 2   c m / s quando x = 10   c m .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a   - 4   c m / s

b   2   c m / s

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