UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 61
Uma mulher está andando com uma velocidade de ao longo do diâmetro de um pátio
circular. Uma luz, situada no extremo de outro diâmetro perpendicular ao seu caminho, projeta sua sombra sobre a parede circular do pátio. Determine a velocidade com a qual a sombra da mulher estará se movendo ao longo da parede quando a mulher tiver percorrido do diâmetro do pátio.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
Vamos começar ilustrando nosso problema:
Temos que representa a distância da mulher até o centro do pátio e representa o comprimento do arco que será descrito pela sombra da mulher. Pra simplificar, vamos supor que a mulher está se movendo para a esquerda. Assim, a velocidade dela será representada por , enquanto a velocidade da sombra será , onde todas as derivadas são tomadas com relação ao tempo.
Do triângulo retângulo com catetos e , temos que
Além disso, como um comprimento de um arco é o arco em radianos multiplicado pelo raio, temos que
Então, nós vamos derivar essas duas equações para encontrar a velocidade com a qual a sombra da mulher estará se movendo ao longo da parede.
Vamos lá!
Passo 2
Derivando as duas equações e lembrando que é constante:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Quando a mulher tiver percorrido do diâmetro, sabendo que o raio é metade do diâmetro, teremos:
Então, agora só falta substituir e na equação de :
Portanto, temos que a velocidade com que a sombra se desloca é .
Valeu, galera. Até a próxima! 😉