2. Um copo de papel tem a forma de um cone de 10   c m de altura e 3   c m de raio (no topo). Se for colocada água dentro do copo a uma taxa de 2   c m 3 / s , com que rapidez o nível da água se elevará quandro ela tiver   5   c m de profundidade?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o que problema nos pede a taxa em que altura do nível de água aumenta com o tempo, e para isso, ele nos forneceu a taxa com a qual o copo vai enchendo. Ou seja, temos aqui um problema de taxa relacionada.

Então vamos começar entendendo o que esta acontecendo no sistema, para depois relacionar as taxas.

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o nosso copo e calcular qual o volume dele.

Ele diz que o copo tem formato de um cone cuja a boca tem raio 3   c m . Então vamos fazer esse cone invertido:

Temos que o volume do cone é dado, por

V = 1 3 π r 2 h

Opaaa! Repara que ao escrevermos essa fórmula, já estamos relacionando o volume com a altura.

Mas o problema pede a taxa de variação da altura. Então vamos derivar!

Passo 3

Temos a seguinte equação,

V = 1 3 π r 2 h

Como queremos a taxa de variação em relação ao tempo, vamos derivar

d V d t = 1 3 π r 2 d h d t  

O problema quer saber exatamente quem é d h d t . Então vamos isolá-lo

d h d t = 3 π r 2 d V d t  

Agora precisamos descobrir quem é d V d t e r .

Passo 4

Galerinha, problema nos disse quem é d V d t , pois ele é justamente a velocidade com que o copo é enchido. Logo,

d V d t = 2   c m 3 / s

Agora precisamos achar quem é r . Para isso, vamos fazer olhar a figura do cone e fazer uma semelhança de cones

10   c m   d e   a l t u r a - - - - - 3   c m   d e   r a i o

5   c m   d e   a l t u r a - - - - - x   c m   d e   r a i o

r = 3 5 10 = 1,5   c m

Passo 5

Substituindo os dados encontrados na fórmula, ficamos com

d h d t = 3 π 1,5   c m 2 2   c m 3 / s

d h d t = 6 π 2,25 = 0,84   c m / s

Prontinho!

Resposta

0,84   c m / s

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