Se uma bola de neve derrete de tal forma que sua área de superfície decresce a uma taxa de 1 cm²/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

O problema diz que a área A ( t ) em função do tempo, em minutos, decresce uma taxa de 1 cm²/min, então d A d t = - 1 e em um determinado instante, o diâmetro é d t = 10   c m . Agora, nós queremos descobrir como do diâmetro vai variar com o tempo, ou seja, d ' ( t ) . Então, pensa comigo...se a gente conseguir relacionar a variação da área com a variação do diâmetro, conseguimos solucionar nosso problema, certo?

E vai ser exatamente isso que iremos fazer!!!

Passo 2

A bola de neve nada mais é do que um tipo de esfera de diâmetro d que vai variando com o tempo.

A área superficial da bola de neve, pode ser descrita da seguinte maneira:

A = 4 π R 2

Onde se a gente sabe que a área dependerá do tempo, e que o raio também depende do tempo, certo? Então podemos dizer que temos na verdade:

A t = 4 π d t 2 2

A t = π d t 2

Passo 3

Se a gente agora derivar a equação implicitamente em função do tempo, podemos obter as taxas de variação da área e do diâmetro.

A ' t = π   2 d × d ' ( t ) ⏟ d e r i v a ç ã o   i m p l í c i t a

Se A ' t = - 1 e d t = 10 , então temos:

- 1 = 2 π 10 d ' t

Logo, temos

d ' t = - 1 20 π

Ou seja, a taxa de variação do diâmetro é de - 1 / 20 π cm/mim, o sinal negativo significa que está decrescendo com o passar do tempo, como esperado.

Resposta

A taxa de variação do diâmetro é de - 1 / 20 π cm/mim, o sinal negativo significa que está decrescendo com o passar do tempo, como esperado.

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