2) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, de modo que a área da região englobada pela onda cresce à taxa de Com que rapizes estará crescendo o raio da onda no instante que este for ? Justifique sua resposta
Passo 1
Show de bola galera. Pra começar, como estamos falando da área de um círculo, um bom primeiro passo é escrever ela:
Bom, como sabemos que essa área ta variando com o tempo, vamos derivar então em relação a ! Assim a gente acha a taxa de variação instantânea da área, que é exatamente o que o enunciado pediu:
Como é uma constante, ela pode sair da derivação. Agora, veja bem, o raio não é uma constante! Ele varia com o tempo também! Então temos que fazer uma Regra da Cadeia aí. Nossa derivada fica:
O que é o mesmo que:
Passo 2
Agora, saca só, a fórmula que achamos é bem genérica, vale pra qualquer que a gente escolha. A gente pode então definir um! Mesmo sem saber qual o valor numérico, vamos definir um instante qualquer onde esse instante é o que o enunciado pede, ok? Ficamos com:
No instante do enunciado, temos duas informações importantíssimas: a taxa de variação instantânea da área e o valor do raio no instante em questão ! Então tamos feitos! Substituindo os dados do enunciado:
Temos:
E fechamos! Taí a taxa de variação instantânea do raio, pedido pelo enunciado ;)