3. A areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 12 * m^3 / min no topo de uma monte cônico. A altura do monte sempre tem 3 / 8 do diâmetro da base. A que taxa irá variar o raio da base quando o monte tiver 3 m de altura?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, nós temos uma questão de taxa relacionada, onde teremos que relacionar a taxa de variação do volume 12 m 3 / m i n com a taxa de variação do raio da base.

Para fazer isso, temos que criar uma relação entre raio e volume. A dica para fazermos isso está no formato do monte que é cônico. E temos que o volume do cone é dado por:

V = π r 2 . h 3

Onde, r é o raio da base e h é a altura do cone.

Mas repara que temos duas variáveis ai, r e h . E só queremos relacionar o r com V . Então vamos olhar para outra informação importante que o problema nos deu: ele nos diz que A altura do monte sempre tem 3 / 8 do diâmetro da base, ou seja,

h = 3 8 d

Como o diâmetro é dado por

d = 2 r

Temos então que a altura será

h = 3 8 2 r = 3 4 r

Substituindo essa informação na fórmula do volume ficamos com,

V = π r 2 3 3 4 r = π r 3 4

Pronto já temos uma relação entre raio e volume. Agora vamos ver como eles variam!

Passo 2

O problema nos disse que a variação do volume com o tempo!

d V d t = 12   m 3 / m i n

E agora vamos derivar a função, para encontrar como o raio varia em relação ao tempo

d V d t = d V d r d r d t = π r 3 4 '   d r d t

Com isso, temos que

d V d t = 3 π r 2 4 d r d t

Como já sabemos quem a variação do volume pelo tempo, podemos substituir ai,

12 = 3 π r 2 4 d r d t

Como queremos a taxa d r / d t , agora é so ajeitar a equação

d r d t = 12 4 3 π r 2

d r d t = 16 π r 2

Calma que ainda não acabamos! Mas já estamos chegando no final!

Passo 3

Repara que o enunciado pede para acharmos a que taxa irá variar o raio da base quando o monte tiver 3   m de altura. Então para isso, precisamos achar qual o raio do cone para quando a altura for 3   m . Lembra que vimos no Passo 1 que

h = 3 4 r

Substituindo,

3 = 3 4 r

r = 4

Agora que achamos o raio equivalente a altura de 3   m , podemos substituir na fórmula de d r / d t :

d r d t = 16 π 4 2 = 1 π

Lembrando que a unidade será metros por minuto!

Resposta

1 π   m / m i n

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