UFSC – CÁLCULO 1 – P2 – 2017.2 – QUESTÃO 3
3. A areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de no topo de uma monte cônico. A altura do monte sempre tem do diâmetro da base. A que taxa irá variar o raio da base quando o monte tiver de altura?
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, nós temos uma questão de taxa relacionada, onde teremos que relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do raio da base.
Para fazer isso, temos que criar uma relação entre raio e volume. A dica para fazermos isso está no formato do monte que é cônico. E temos que o volume do cone é dado por:
Onde, é o raio da base e é a altura do cone.
Mas repara que temos duas variáveis ai, e . E só queremos relacionar o com . Então vamos olhar para outra informação importante que o problema nos deu: ele nos diz que A altura do monte sempre tem do diâmetro da base, ou seja,
Como o diâmetro é dado por
Temos então que a altura será
Substituindo essa informação na fórmula do volume ficamos com,
Pronto já temos uma relação entre raio e volume. Agora vamos ver como eles variam!
Passo 2
O problema nos disse que a variação do volume com o tempo!
E agora vamos derivar a função, para encontrar como o raio varia em relação ao tempo
Com isso, temos que
Como já sabemos quem a variação do volume pelo tempo, podemos substituir ai,
Como queremos a taxa , agora é so ajeitar a equação
Calma que ainda não acabamos! Mas já estamos chegando no final!
Passo 3
Repara que o enunciado pede para acharmos a que taxa irá variar o raio da base quando o monte tiver de altura. Então para isso, precisamos achar qual o raio do cone para quando a altura for . Lembra que vimos no Passo 1 que
Substituindo,
Agora que achamos o raio equivalente a altura de , podemos substituir na fórmula de :
Lembrando que a unidade será metros por minuto!