Um funil cônico têm diâmetro de na parte superior e altura de . Se o funil for alimentado à taxa de e tem uma vazão de , determine quão rapidamente está subindo o nível de água quando esse nível for de .

Primeiro, vamos pensar sobre a variação do volume em relação ao tempo dentro do funil cônico. Temos que a água está entrando a uma taxa e que a saída dessa água ocorre a uma taxa . Portanto, a taxa correspondente ao volume de água que permanece dentro do funil será de:

=

Lembrando que

Assim,

Dessa forma nossa equação correspondente será :

Beleza, mas agora precisamos relacionar isso com o volume do nosso cone.

O volume de um cone é dado pela equação:

E sabemos que o diâmetro da parte superior do nosso cone possui , ou seja,

E além disso, a altura total é de . Vamos supôr que eu irei fatiar esse meu cone em seções paralelas a base do funil, ao fazer isso é possível relacionar o raio de cada seção em relação a altura em que se encontra essa seção, como na figura:

Desse modo, temos que:

Agora que conseguimos relacionar o raio de cada seção com sua altura correspondente, vamos aplicar esse valor na fórmula do volume de um cone.

O volume de um cone é dado pela equação:

Utilizando , temos que :

Aplicando a derivada do volume em relação a altura, temos:

Como estamos interessados na variação do nível da água em relação ao tempo e até agora possuímos apenas a derivada do volume em relação a altura, manipularemos a nossa equação de modo que se obtenha a variação desejada:

No passo 2, obtemos que , logo:

Agora encontramos a variação do nível da água em relação ao tempo, só falta encontrar para . Basta substituir esse valor na nossa equação:

E aí? Essa resolução te ajudou? Responde aí!

:)