USP, Cálculo 1 – P2 – 2021.2 – Questão 3a
Os comprimentos dos lados de um retângulo variam com o tempo. Sabe-se que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado.
- Se a taxa de variação da área é , qual a taxa de variação do menor lado?
- Se o comprimento da diagonal cresce a , qual a taxa de variação do menor lado?
Dados para (a) e (b): no instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm.
Passo 1
Fala aí! Tudo bom? O que nós temos na nossa questão é o que tá mostrado na figura abaixo:
Temos um retângulo, mas as suas duas dimensões são funções do tempo! Ou seja, vão variando. Como eu desenhei o maior lado do nosso retângulo como sendo e nós temos a informação do enunciado de que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado, temos:
Se escrevermos a área do nosso retângulo em função das nossas variáveis e , temos:
Então, como temos também do enunciado que a taxa de variação da área é , aplicando a Regra do Produto e substituindo a relação entre e , obtemos:
Passo 2
Beleza! Aplicando as informações do enunciado, conseguimos uma expressão para a taxa de variação da área, que sabemos valer . Por fim, vamos agora utilizar a única outra informação que não usamos ainda, a de que existe um instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm. Substituindo tudo em , temos:
Curtiu? Bora pra próxima questão!