USP, Cálculo 1 – P2 – 2021.2 – Questão 3b
Os comprimentos dos lados de um retângulo variam com o tempo. Sabe-se que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado.
- Se a taxa de variação da área é , qual a taxa de variação do menor lado?
- Se o comprimento da diagonal cresce a , qual a taxa de variação do menor lado?
Dados para (a) e (b): no instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm.
Passo 1
Oi! Tudo bem por aí? O que a gente tem nessa questão é o que tá mostrado nessa figura:
Temos um retângulo, mas as suas duas dimensões variam com o tempo. Como eu desenhei o maior lado do nosso retângulo como sendo e nós temos a informação do enunciado de que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado, temos:
Além disso, temos também uma informação acerca da diagonal. Pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever a diagonal do nosso retângulo em função das nossas variáveis e como:
Sendo assim, como do enunciado a taxa de variação da diagonal é de , aplicando a Regra da Cadeia, obtemos:
Agora, Substituindo a relação entre e , temos:
Passo 2
Show! Aplicando as informações do enunciado, conseguimos uma expressão para a taxa de variação da diagonal, que sabemos valer . Para concluir, vamos agora utilizar a única outra informação que não usamos ainda, a de que existe um instante em que o maior lado mede 5cm e o menor mede 3cm. Substituindo tudo em , temos:
Terminamos! Vamos pra próxima?