Um caminhão descarrega areia a uma taxa de 3 m ³ / m i n de tal forma que a areiai descarregada tem um formato de cone em que a altura h é igual ao diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura for igual a 3 .

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Esse enunciado diz pra gente que um camnhão está derrubando areia e que a areia fica no formato de um cone. Vamos desenhar esse rolê pra gente entender melhor!!

O enunciado pediu a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura for igual a 3 m .

A taxa de crescimento da altura da pilha é a derivada da altura no tempo, ou seja h ' ( t ) . E como queremos essa taxa pra quando a altura for 3 m , então queremos h ' ( t ) quando h = 3 .

Calma! Vamos chegar la!

Passo 2

O enunciado dá pra gente a taxa em que a areia é descarregada, que 3 m ³ / m i n . E se você reparar na unidade, vai ver que estamos falando de volume.

Então vamos lembrar que Oo volume da pilha de cascalho de altura h e raio r é dada por:

V = π r 2 h 3

Como o diâmetro da base que é o dobro do raio é sempre igual à altura, então:

h = 2 r ⇒ r = h 2

Então, o volume é dado por:

V = π h 2 2 h 3

V = π h 3 12

Passo 3

Derivando em função do tempo t em minutos, temos:

V ' t = π 12 × 3 × h 2 × h ' t = π 4 × h 2 × h ' t

h ' t = 4 V ' t π h 2

Então, quando h = 3 metros e V ' t = 3 m 3 / m i n .

h ' t = 4 3 π 3 2 = 4 3 π

Logo, a altura varia a uma razão de 4 3 π metros por minuto.

Resposta

A altura varia a uma razão de 4 3 π metros por minuto.

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