Lista 3.2 – 21.1 – P7
Um caminhão descarrega areia a uma taxa de de tal forma que a areiai descarregada tem um formato de cone em que a altura é igual ao diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura for igual a .
Passo 1
Fala aí, pessoal!
Esse enunciado diz pra gente que um camnhão está derrubando areia e que a areia fica no formato de um cone. Vamos desenhar esse rolê pra gente entender melhor!!
O enunciado pediu a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura for igual a .
A taxa de crescimento da altura da pilha é a derivada da altura no tempo, ou seja . E como queremos essa taxa pra quando a altura for , então queremos quando .
Calma! Vamos chegar la!
Passo 2
O enunciado dá pra gente a taxa em que a areia é descarregada, que . E se você reparar na unidade, vai ver que estamos falando de volume.
Então vamos lembrar que Oo volume da pilha de cascalho de altura e raio é dada por:
Como o diâmetro da base que é o dobro do raio é sempre igual à altura, então:
Então, o volume é dado por:
Passo 3
Derivando em função do tempo em minutos, temos:
Então, quando metros e .
Logo, a altura varia a uma razão de metros por minuto.
Resposta
A altura varia a uma razão de metros por minuto.