Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

Ver Teoria
Exercício 451234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFABC – Cálculo 1 – Lista 3 – 13c

Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10000   c m 3 / m i n . Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6   m de altura e o diâmetro no topo é de 4   m . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20   c m / m i n quando a altura da água for 2   m , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.

Passo 1

A variação no volume total do volume ( V ' ( t ) ) corresponde à diferença entre a taxa com que o volume é acrescido ( V a ' t ) e a taxa com que o volume vaza ( V v ' t ), ou seja:

V ' t = V a ' t - V v ' t

Se a água está vazando a uma taxa de 10000   c m 3 / m i n então V v ' t = 10000 :

V ' t = V a ' t - 10000

Passo 2

O volume total V é dado por:

V = π r 2 × h 3

Onde r é o raio do topo da área preenchida em um nível de altura h .

Se a altura máxima do cone é 6 m enquanto o nível da água nessa altura tem um diâmetro de 4   m que corresponde a um raio r = 2 , então todo par altura-raio é proporcional à isso. Logo:

h r = 6 2 = 3

r = h 3

Então, o volume é:

V = π h 3 2 × h 3

V = π h 3 27

Derivando em função do tempo:

V ' t = π 27 × 3 h 2 × h ' ( t )

V ' t = π h 2 9 × h ' ( t )

Passo 3

Como visto anteriormente, V ' t = V a ' t - 10000 portanto

V a ' t - 10000 = π h 2 9 × h ' ( t )

Se no memento em que a altura é 2 metros h = 200 centímetros e está variando a uma taxa h ' ( t ) = 20 cm/min, então:

V a ' t - 10000 = π ( 200 ) 2 9 × 20

V a ' t = 800000 π 9 + 10000

Logo, a água está sendo bombeada a uma taxa de ( 800000 π 9 + 10000 ) c m 3 / m i n .

Resposta

A água está sendo bombeada a uma taxa de ( 800000 π 9 + 10000 ) c m 3 / m i n .

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2,1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre que
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s