Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de 300 * m^3 / min . Determine a taxa de variação

da sua superfície no instante em que o diâmetro desse balão é igual a 20 m .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação da superfície do balão, sabendo que ele tem um diâmetro d = 20   m e que seu volume está aumentando a uma taxa d V d t = 300   m 3 / m i n .

Nossa superfície vai variar de acordo com o diâmetro, então nós queremos encontrar a taxa de variação do diâmentro em relação ao tempo, d D d t . Pra isso, vamos partir da equação do volume da esfera:

V = 4 3 π r 3

Como o raio r é metade do diâmetro, temos:

V = 4 3 π D 2 3 = π D 3 6

Então, o que nós vamos fazer é derivar implicitamente essa expressão, considerando D como uma função do tempo t , encontrar uma expressão para d D d t e substituir os valores dados no enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando nossa expressão do volume, V = π D 3 6 ,em relação ao tempo:

d V d t = π 6 ∙ d d t ( D 3 )

d V d t = π 6 ∙ 3 D 2 ∙ d D d t

Simplificando, temos:

d V d t = π D 2 2 ∙ d D d t

Encontramos a relação entre as taxas.

Passo 3

O enunciado nos diz que o balão é inflado a uma taxa d V d t = 300   m 3 / m i n . Substituindo isso na expressão que encontramos no passo 2 , temos:

300 = π D 2 2 ∙ d D d t

Isolando d D d t :

d D d t = 600 π D 2

Mas a gente quer saber a taxa de variação da sua superfície no instante em que o diâmetro desse balão é D = 20   m . Então, vamos ter:

d D d t = 600 π 20 2 = 600 π ∙ 400

d D d t = 3 2 π   m / m i n

Ou em forma decimal:

d D d t ≈ 0,48   m / m i n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d D d t ≈ 0,48   m / m i n

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