UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 49
Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de . Determine a taxa de variação
da sua superfície no instante em que o diâmetro desse balão é igual a .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação da superfície do balão, sabendo que ele tem um diâmetro e que seu volume está aumentando a uma taxa .
Nossa superfície vai variar de acordo com o diâmetro, então nós queremos encontrar a taxa de variação do diâmentro em relação ao tempo, . Pra isso, vamos partir da equação do volume da esfera:
Como o raio é metade do diâmetro, temos:
Então, o que nós vamos fazer é derivar implicitamente essa expressão, considerando como uma função do tempo , encontrar uma expressão para e substituir os valores dados no enunciado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando nossa expressão do volume, ,em relação ao tempo:
Simplificando, temos:
Encontramos a relação entre as taxas.
Passo 3
O enunciado nos diz que o balão é inflado a uma taxa . Substituindo isso na expressão que encontramos no passo , temos:
Isolando :
Mas a gente quer saber a taxa de variação da sua superfície no instante em que o diâmetro desse balão é . Então, vamos ter:
Ou em forma decimal:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉