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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

Unb - Cálculo 1 - Listas - Lista 8 - Exercício 2

Um ponto move-se sobre o gráfico de y   =   1 x ² + 1 , de tal modo que sua abscissa x varia a uma velocidade de 5   m / s . Qual a velocidade de y no instante em que x é igual a 10   m e t r o s ?

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Bom a questão fala sobre um ponto que se move com trajetória descrita pelo gráfico y   =   1 x ² + 1 . Além disso a questão complementa as informações afirmando que a abscissa x varia a uma velocidade de 5   m / s , ou seja, a trajetória do ponto em relação ao eixo x se altera 5   m e t r o s a cada 1   s e g u n d o . Sendo assim, a questão deseja saber qual é a variação do eixo y em relação a x quando x   =   10   m . E aí como vocês acham que devemos proceder???

Passo 2

De acordo com a regra da cadeia temos que :

d y d x =   d y d t   d t d x

No que isso vai nos ajudar? Bom a questão quer saber quanto é o valor da velocidade de y né, significa que quer o quanto y varia em relação ao tempo ( t ) . Então para solucionarmos o problema devemos encontrar quem é d y d x e d t d x para aplicarmos na expressão acima.

Passo 3

Bora lá, vamos encontrar quem é d y d x :

d y d x =     ( 1 x ² + 1 ) '   =   ( ( x ² + 1 ) - 1 ) '  

Aplicando a regra da cadeia:

d y d x =   - 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x

Passo 4

E a questão nos informou que x varia a uma velocidade de x   =   5   m / s , ou seja, é a derivada de x em relação ao tempo ( t ) , entretanto queremos saber o inverso desse valor, portanto

d t d x   =   1 5

Agora temos tudo para aplicar na nossa receitinha!

Passo 5

d y d x =   d y d t   d t d x

onde se conhece d y d x e d t d x

→ d y d x =   - 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x

→ d t d x   =   1 5

Logo,

- 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x = d y d t   1 5  

d y d t = - 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x ⋅ 5  

E deseja-se saber a velocidade de y em x =   10   m , basta substituir:

d y d t = - 1 ( 10 ² + 1 ) ² ⋅ 2 ( 10 ) ⋅ 5 = - 100 101 ²   m / s  

E aí, fofuchos!!! Te ajudei?!

Bons Estudos! :)

Resposta

- 100 101 ²   m / s

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