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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

Lista 9 – 2018.1 – UFES – Cálculo 1 – Questão 9a

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P à 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo à 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P .

  1. Antes do ponto P , a distância entre os aviões está diminuindo? A que taxa?

Passo 1

Eaeee, beleza? Olha, vamos ver a seguinte figura para deixar melhor o nosso entendimento:

Inicialmente, podemos deduzir que:

d = 150 2 + 200 2 ∴ d = 250   m i

Passo 2

Sendo d 2 = d 1 2 + d 2 2 , derivando a expressão implicitamente, temos:

2 d d ' = 2 d 1 d 1 ' + 2 d 2 d 2 '

Lembrando que, inicialmente:

  • d 1 ' = 450   m i / h
  • d 2 ' = 600   m i / h

Passo 3

Dessa forma, substituindo as taxas de variação e as distâncias iniciais, temos para d ' :

2 ∙ 250 d ' = 2 ∙ 150 ∙ 450 + 2 ∙ 200 ∙ 600 ∴

d ' = 750   m i / h

s = 15 t 2 ∴ s = 15 ∙ 10 2 ∴ s = = 1500 m

E que sua derivada é dada por:

s ' = d d t 15 t 2 ∴ s ' = 30 t ∴ s ' = 30 ∙ 1 0

∴ s ' = 300

Além disso, substituindo na primeira fórmula que fizemos no passo 1, temos:

d 2 = 1500 2 + 600 2

∴ d = 1615,55   m

Entendeu direitinho?? Responde Aí haha

Resposta

d = 1615,55   m

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