Considere a parábola y = -x^2 + 1 na figura abaixo, onde a reta t é tangente à parábola no primeiro quadrante em cada ponto P(x, y) . Sabendo que a taxa de variação da abscissa de P (coordenada x ) é de 2 cm / min , determine a taxa de variação do lado M Q do triângulo PMQ , quando o ponto de tangência é P_0(1/raiz(2), 1/2) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do lado M Q do triângulo P M Q , quando o ponto de tangência é P 0 1 2 , 1 2 . Então, precisamos achar o valor de M Q ' ( t ) .

Se P = ( x 0 ,   y 0 ) , a equação da reta tangente t que passa por P , vai ser:

y - y 0 = - 2 x 0 ( x - x 0 )

Como y 0 = - x 2 + 1 , a equação de t é na verdade:

y = 1 - x 0 2 - 2 x 0 ( x - x 0 )

O ponto Q é a interseção de t com o eixo x . Então, basta colocar y = 0 na equação da reta t para obter a coordenada x de Q . Olhando no gráfico, nós vemos que M = ( x 0 ,   0 ) . Com isso, conseguimos obter uma equação para M Q , derivá-la e encontrar a taxa de variação do lado do triângulo.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo y = 0 na equação y = 1 - x 0 2 - 2 x 0 ( x - x 0 ) , temos:

1 - x 0 2 - 2 x 0 x - x 0 = 0

Isolando x , vamos obter:

x = x 0 + 1 - x 0 2 2 x 0

Então, Q = x 0 + 1 - x 0 2 2 x 0 ,   0 . Como M = ( x 0 ,   0 ) , a reta M Q será:

M Q = Q - M = x 0 + 1 - x 0 2 2 x 0 ,   0 - ( x 0 ,   0 )

M Q = 1 - x 0 2 2 x 0

Passo 3

Derivando essa relação, vamos obter a taxa de variação do lado:

M Q ' ( t ) = - 2 x 0 x 0 ' 2 x 0 - ( 1 - x 0 2 ) ( 2 x 0 ' ) 4 x 0 2

Simplificando:

M Q ' = - 4 x 0 x 0 ' - ( 1 - x 0 2 ) ( 2 x 0 ' ) 4 x 0 2

Mas no ponto P 0 , temos x 0 = 1 2 . Além disso, temos x ' = 2   c m / m i n . Então, substituindo:

M Q ' = - 4 1 2 2 ( 2 ) - 1 - 1 2 2 ( 2 ( 2 ) ) 4 2 2

M Q ' = - 3   c m / m i n

Que é a taxa de variação do lado do triângulo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M Q ' = - 3   c m / m i n

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