A produção mensal de papel de uma indústria é dada pela expressão f(x) = 100 - 100 * 4^(-0,05 x) , onde x é o número de meses contado a partir de uma certa data e f(x) é a quantidade de papel em toneladas. Apresente no máximo duas casas decimais em seus resultados.

b Calcule a taxa de variação instantânea em x = 2 .

Dica: lim h -> 0 (a^(k h) - 1) / h = k ln(a) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado descreve uma função

f ( x ) = 100 - 100 ⋅ 4 - 0,05   x

que mensura a quantidade de toneladas de papel f ( x ) produzida em x meses. Tendo em vista esse contexto, esta alternativa pede para que

b ) Calcule a taxa de variação instantânea em x = 2 .

Dica: l i m h → 0 a k h - 1 h = k   l n ( a ) .

Na alternativa anterior calculamos a taxa de variação média em um período de tempo, agora, iremos calcular a taxa instantânea em x = 2 , ou seja, calcular a seguinte expressão

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

e então avaliar essa relação quando x = 2 . Note que a dica dada no enunciado será de bastante ajuda! Bora lá!

Passo 2

Substituindo nossa função no limite acima, temos que

f ' ( x ) = l i m h → 0 [ 100 - 100 ⋅ 4 - 0,05 ( x + h ) ] - [ 100 - 100 ⋅ 4 - 0,05   x ] h

quando avaliamos o limite diretamente, temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , portanto, para realmente avaliar o resultado precisamos reescrever a expressão acima, primeiro, podemos simplificar algumas coisas, note que

f ' ( x ) = l i m h → 0 - 100 ⋅ 4 - 0,05 ( x + h ) ] + 100 ⋅ 4 - 0,05   x h = l i m h → 0 100 ⋅ 4 - 0,05   x [ 1 - 4 ⋅ - 0,05   h ] h

Note que agora podemos usar a dica dada no enunciado! Consegue enxergar?

Passo 3

Podemos tirar a função de x do limite de forma que

f ' ( x ) = 100 ⋅ 4 - 0,05 x l i m h → 0 1 - 4 ⋅ - 0,05   h h

a dica dada é tal que

l i m h → 0 a k h - 1 h = k   l n ( a )

identificando que k = - 0,05 e a = 4 , e notando que existe uma sinal negativo global, temos que

f ' ( x ) = 100 ⋅ 4 - 0,05   x ( - ( - 0,05 ) l n ( 4 ) ) = 5 ⋅ 4 - 0,05   x   l n ( 4 )

avaliando em x = 2 , temos que

f ' ( 2 ) ≈ 6,03   t o n e l a d a s / m ê s

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ' ( 2 ) ≈ 6,03   t o n e l a d a s / m ê s

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