Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).

(c) f(x) = x + 4 / x^2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e decresce, além de seus pontos de máximo e mínimo locais.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função. Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Além disso, nos locais onde f ' x = 0 temos nossos pontos críticos, que vão ser candidatos a máximo ou mínimo da função. Supondo que esse ponto crítico seja c , o teste da primeira derivada nos diz que:

S e   o   s i n a l   d e   f '   m u d a r   d e   p o s i t i v o   p a r a   n e g a t i v o   e m   c ,   e n t ã o   f   t e m   u m   m á x i m o   l o c a l   e m   c

S e   o   s i n a l   d e   f '   m u d a r   d e   n e g a t i v o   p a r a   p o s i t i v o   e m   c ,   e n t ã o   f   t e m   u m   m í n i m o   l o c a l   e m   c

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x + 4 x 2

Derivando ela em relação a x , vamos obter:

f ' x = 1 - 8 x 3

Agora vamos fazer o estudo de sinal de f ' ( x ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Repara que para x = 0 , nossa derivada não está definida, então temos nosso primeiro ponto crítico. Antes de fazer o estudo de sinal vamos deixar nossa expressão na forma de quociente, pra facilitar nossa análise:

f ' x = x 3 - 8 x 3

Agora vamos montar o quadro de sinais pra entender o comportamento dessa função.

Passo 3

Se olharmos os termos do quociente, vamos ver que dependendo do valor de x , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então, para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação.

x 3 - 8 x 3 = 0 →   x 3 - 8 = 0

Logo,

x 3 = 8 → x = 2

Agora vamos finalmente para o quadro de sinais. Vamos colocar em cima da tabela, em ordem crescente, todas os pontos críticos da função (onde a derivada é zero e onde ela não existe), e na primeira coluna colocamos os termos da derivada, a própria f ' ( x ) original e a nossa função f ( x ) .

Então vamos preencher a tabela analisando os intervalos onde cada termo é negativo ou positivo, na primeira e na segunda linha. Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo.

As setinhas para cima indicam onde a derivada é positiva e consequentemente, os intervalos de crescimento da função. Assim como as setinhas para baixo, indicam onde a função decresce. Representanto esses intervalos, vamos ter:

C r e s c i m e n t o → - ∞ ,   0 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

D e c r e s c i m e n t o → ( 0 ,   2 )

Passo 4

Agora repare que a nossa função descrece até x = 2 e depois volta a crescer, indicando a existência de um ponto de mínimo local. Mas em x = 0 nós não temos um ponto de máximo, porque nossa função não é definida para esse valor (porque a gente teria uma divisão por zero).

Então, vamos substituir apenas x = 2 na função:

f 2 = 2 + 4 2 2 = 2 + 1 = 3

Assim, temos os pontos:

M á x i m o → n ã o   e x i s t e

M í n i m o → ( 2 ,   3 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → - ∞ ,   0 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

D e c r e s c i m e n t o → ( 0 ,   2 )

P o n t o   d e   M á x i m o → n ã o   e x i s t e

P o n t o   d e   M í n i m o → ( 2 ,   3 )

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