UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 57
O raio de um cilindro circular reto aumenta com velocidade constante. Sua altura é uma função
afim do raio e aumenta 3 vezes mais rápido do que este, de modo que quando o raio mede , a altura mede . No instante em que o raio mede , o volume aumenta a uma razão de . Determine a taxa de variação do volume no instante em que o raio do cilindro mede .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do volume do cilindro no instante que o raio mede . Ele nos diz que a altura é uma função linear do raio e que o raio aumenta vezes mais rápido que . Então, temos:
Além disso, ele nos diz que quando o raio mede , a altura mede . Assim, teremos:
Outra informação importante que nós temos é que o volume aumenta a uma razão de quando . Então,
E para na primeira equação, encontramos a altura . Como o raio e a altura variam, vamos derivar a equação do volume do cilindro implicitamente, , usando a regra do produto e encontrar a taxa de variação do volume usando os dados do enunciado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a fórmula do volume do cilindro:
Como temos , substituindo vamos encontrar:
Além disso, , porque o enunciado nos diz que a altura cresce três vezes mais que o raio. Assim, ficamos com:
Substituindo e , que encontramos no passo , temos:
Passo 3
Nós queremos achar quando o raio do cilindro mede . Colocando esse valor na equação do passo , teremos:
Então, substituindo , , e , na expressão da taxa do volume, temos:
Isso significa que o volume varia a uma taxa de quando .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉